용어 사전

함수족 $\mathcal{F}$ 가 한 점이 아니라 모든 점에서 "같은 $\delta$ "로 연속인 성질 — $\varepsilon > 0$ 마다 모든 $f \in \mathcal{F}$ 에 통하는 $\delta > 0$ 이 존재한다. Arzelà–Ascoli 정리의 핵심 가정.

아르첼라-아스콜리 정리

상대 컴팩트¶

폐포가 컴팩트인 집합 — 모든 수열이 수렴하는 부분수열을 품는다. $C(K)$ 에서는 균등 유계 + 동등연속과 동치 (Arzelà–Ascoli).

아르첼라-아스콜리 정리

바이어슈트라스 근사정리¶

닫힌 구간 위의 연속함수는 다항식으로 균등하게 근사할 수 있다.

바이어슈트라스 근사정리

번스타인 다항식¶

$B_n(f)(x) = \sum_{k=0}^{n} f(k/n)\binom{n}{k}x^k(1-x)^{n-k}$ . 근사정리의 구성적 증명에 쓰인다.

바이어슈트라스 근사정리

점 분리¶

서로 다른 두 점 $x \ne y$ 에 대해 값이 다른 함수 $u$ ( $u(x) \ne u(y)$ )가 대수 $\mathcal{A}$ 안에 존재하는 성질. Stone–Weierstrass 정리의 핵심 가정 중 하나.

스톤-바이어슈트라스 정리

부분대수¶

선형결합과 곱셈에 닫혀 있는 함수의 집합. 삼각다항식은 곱셈 공식(예: $\cos A \cos B = \tfrac12(\cos(A-B)+\cos(A+B))$ )에 의해 부분대수이며, Stone–Weierstrass 정리로 $C(S^1)$ 에서 균등 조밀하다.

스톤-바이어슈트라스 정리

뮌츠-서스 정리¶

$0 < \lambda_1 < \lambda_2 < \cdots$ 일 때 $\operatorname{span}\{1, x^{\lambda_1}, x^{\lambda_2}, \ldots\}$ 가 $C[0,1]$ 에서 조밀할 필요충분조건은 $\sum \frac{1}{\lambda_n} = \infty$ 이다.

뮌츠-서스 정리

7. 급수

조화급수¶

$\sum 1/n$ . 항은 0으로 가지만 합은 발산한다.

조화급수의 발산

발산¶

급수의 부분합이 유한한 극한을 갖지 않는 것.

조화급수의 발산

오일러-마스케로니 상수¶

$\gamma = \lim_{n\to\infty}(H_n - \ln n) \approx 0.5772$ — 조화수와 로그 사이의 간격이 모이는 값.

오일러-마스케로니 상수

조화수¶

$H_n = 1 + \frac12 + \cdots + \frac1n$ — 조화급수의 부분합.

오일러-마스케로니 상수

바젤 문제¶

$\sum 1/n^2 = \pi^2/6$ 임을 보이는 문제.

바젤 문제

오일러 곱 공식¶

$s > 1$ 에서 $\zeta(s) = \prod_p (1-p^{-s})^{-1}$ — 체로 합성수 항을 걸러내면 소수 위의 곱만 남는다.

오일러 곱 공식

교대급수¶

부호가 번갈아 바뀌는 급수. 항이 단조롭게 0으로 가면 수렴한다(라이프니츠 판정법).

라이프니츠 급수

비교판정법¶

항을 기준으로 삼을 급수와 비교해 수렴을 판정하는 방법.

수렴 판정법 도구상자

비율판정법¶

$|a_{n+1}/a_n|$ 의 극한으로 수렴을 판정하는 방법.

수렴 판정법 도구상자

적분 판정법¶

감소하는 양의 함수에 대해 급수와 이상적분이 수렴·발산을 함께한다.

적분 판정법

이중급수¶

항이 격자 $(m,n)$ 위에 놓인 급수. 절댓값이 수렴하면 행·열 어느 쪽으로 먼저 합해도 같다.

이중급수와 푸비니

라베 판정법¶

$L = \lim n(a_n/a_{n+1} - 1)$ : $L > 1$ 이면 수렴, $L < 1$ 이면 발산. 비율이 1로 가서 비율 판정법이 침묵할 때 쓰는 판정법.

라베 판정법

쿰머 판정법¶

$K_n = p_n a_n/a_{n+1} - p_{n+1}$ 이 양수로 머무르면 수렴, 0 이하에 머무르고 $\sum 1/p_n$ 이 발산하면 발산. $p_n = 1$ 은 비율 판정법, $p_n = n$ 은 라베 판정법이다.

쿰머 판정법

가우스 판정법¶

$a_n/a_{n+1} = 1 + h/n + O(1/n^r)$ $(r > 1)$ 이면 $h > 1$ 에서 수렴, $h < 1$ 에서 발산 — 쿰머 판정법의 따름정리.

쿰머 판정법

코시 응축 판정법¶

감소하는 $a_n \ge 0$ 에 대해 $\sum a_n$ 과 $\sum 2^n a_{2^n}$ 은 수렴성을 공유한다.

코시 응축 판정법

망원급수¶

이웃한 항이 소거되어 부분합이 간단해지는 급수.

망원급수

등비급수¶

$\sum ar^n$ . $|r| < 1$ 일 때 $a/(1-r)$ 로 수렴한다.

기하급수: 정사각형 채우기

월리스 곱¶

$\pi/2$ 를 무한곱으로 나타낸 식.

월리스 곱

스털링 근사¶

$n! \approx \sqrt{2\pi n}\,(n/e)^n$ .

스털링 근사

팩토리얼¶

$n! = 1\cdot 2\cdots n$ .

스털링 근사

그란디 급수¶

$1-1+1-1+\cdots$ . 보통의 의미로는 발산한다.

그란디 급수

체사로 합¶

부분합의 평균의 극한. 그란디 급수의 체사로 합은 $1/2$ 이다.

그란디 급수

디리클레 판정법¶

\ $(a_n)\$ 의 부분합이 유계이고 \ $(b_n)\$ 이 0으로 단조 감소하면 \ $\\sum a_n b_n\$ 이 수렴한다.

디리클레 판정법

아벨 판정법¶

$\sum a_n$ 이 수렴하고 $(b_n)$ 이 단조·유계이면 $\sum a_n b_n$ 이 수렴한다. 디리클레 판정법과 달리 $(b_n)$ 이 0으로 갈 필요가 없다.

아벨 판정법

부분합 공식¶

$\sum_{k=m}^{n} a_k b_k = A_n b_{n+1} - A_{m-1} b_m + \sum_{k=m}^{n} A_k (b_k - b_{k+1})$ — 이산 버전의 부분적분. 아벨 판정법의 증명 엔진이다.

아벨 판정법

8. 거듭제곱급수

멱급수¶

$\sum a_n(x-c)^n$ 꼴의 급수.

멱급수와 수렴반경

수렴반경¶

멱급수가 수렴하는 구간의 반지름.

멱급수와 수렴반경

Hadamard 간극¶

멱급수 $\sum a_k z^{n_k}$ 의 지수가 $n_{k+1}/n_k \ge q > 1$ 을 만족하는 띄엄띄엄한 배치 — 예: $n_k = 2^k$ (비율 정확히 2). 수렴반경이 1이면 단위원 전체가 자연경계가 된다.

Hadamard 간극 정리

자연경계¶

정칙함수가 그 너머의 어떤 점으로도 정칙 확장될 수 없는 곡선 — Hadamard 간극 정리에 의해 $\sum z^{2^k}$ 에게 단위원 $|z| = 1$ 이 바로 그것이다.

Hadamard 간극 정리

아벨 정리¶

$\sum a_n \to S$ 이면 $\lim_{x\to 1^{-}}\sum a_n x^n = S$ — 멱급수의 경계값이 보통 합을 복원한다.

아벨 정리

아벨 합¶

$\lim_{x\to 1^{-}}\sum a_n x^n$ 이 존재할 때의 값. 발산급수에도 값을 붙일 수 있으나 급수의 "합"은 아니다 — 그란디 급수의 Abel 합은 $1/2$ .

아벨 정리

타우버형 정리¶

Abel 합 같은 약한 총합법으로부터 항에 대한 부가 조건( $a_n = o(1/n)$ ) 하에 보통 수렴을 되돌려내는 정리 — 타우버 정리가 그 원형이다.

타우버 정리

자연상수 e¶

$\lim (1+1/n)^n = \sum 1/n!$ . 자연로그의 밑이다.

e로 가는 두 길

리만 제타함수¶

$\zeta(s) = \sum 1/n^s$ . 바젤 문제는 $\zeta(2) = \pi^2/6$ 이다.

ζ(4)와 짝수 거듭제곱

재배열 정리¶

절대수렴 급수는 항의 순서를 바꿔도 합이 같다. 조건수렴 급수는 그렇지 않다.

재배열 정리

조건수렴¶

수렴하지만 절대수렴하지는 않는 것.

재배열 정리

절대수렴¶

$\sum |a_n|$ 이 수렴하는 것. 수렴을 보장한다.

절대수렴 정리

리만 재배열 정리¶

조건수렴하는 실수 급수는 재배열로 임의의 실수(또는 $\pm\infty$ )에 수렴시킬 수 있다 — 양항 부분과 음항 부분이 각각 발산하기 때문이다.

리만 재배열 정리

코시 곱¶

두 급수의 곱 $(\sum a_n)(\sum b_n) = \sum c_n$ , $c_n = \sum_{k=0}^{n} a_k b_{n-k}$ — 대각선 합.

코시 곱

메르텐스 정리¶

한 급수가 절대수렴하고 다른 하나가 수렴하면 코시 곱도 수렴하고 그 합은 두 합의 곱과 같다.

코시 곱

9. 함수급수와 푸리에

M-판정법¶

\ $|f_n(x)| \\le M_n\$ 이고 \ $\\sum M_n\$ 이 수렴하면 \ $\\sum f_n\$ 은 균등수렴한다.

M-판정법

디니 정리¶

컴팩트 집합 위에서 단조인 연속함수열이 연속인 극한에 점별수렴하면 균등수렴한다.

디니 정리

푸리에 급수¶

주기함수를 사인·코사인 급수로 나타낸 것.

푸리에 정사각파

Fejér kernel¶

$K_N(t) = \frac1N\left(\frac{\sin(Nt/2)}{\sin(t/2)}\right)^2$ — 0 이상이고 평균이 1인 삼각다항식으로, 푸리에 부분합의 체자로 평균을 컨볼루션으로 만든다.

Fejér 정리

체자로 평균¶

부분합들의 평균 $\sigma_N = \frac{S_0+\cdots+S_{N-1}}{N}$ — 발산하는 급수에도 합을 부여할 수 있고, 푸리에급수에서는 울림을 매끈하게 다듬는다 (Fejér 정리).

Fejér 정리

Gibbs 현상¶

점프 불연속점 근처에서 푸리에 부분합이 점프의 약 8.95%만큼 오버슈트하고, $N$ 을 키워도 혹이 좁아질 뿐 사라지지 않는 현상.

Gibbs 현상

C_b(X) 공간¶

$X$ 위의 유계 연속함수 전체에 sup 노름 $\|f\|_\infty = \sup_X |f|$ 를 준 공간. 완비하다.

함수공간: C_c, C_0, C_b

C_0(X) 공간¶

무한원에서 사라지는 연속함수들의 공간: 모든 $\varepsilon > 0$ 에 대해 compact 집합 밖에서 $|f| < \varepsilon$ 이다. $C_b$ 의 닫힌 부분공간이라 완비하다.

함수공간: C_c, C_0, C_b

C_c(X) 공간¶

지지집합이 compact인 연속함수들의 공간. $C_0$ 안에서 dense이지만 완비가 아니고 닫혀 있지도 않다: $\overline{C_c} = C_0$ .

함수공간: C_c, C_0, C_b

Wilbraham–Gibbs 상수¶

Gibbs 오버슈트의 극한값 $\frac{2}{\pi}\mathrm{Si}(\pi) - 1 \approx 0.17898$ — 점프 크기의 약 8.949%. $\mathrm{Si}$ 는 사인 적분.

Gibbs 현상

리만-르벡 보조정리¶

적분 가능한 함수의 푸리에 계수는 0으로 수렴한다 — 빠른 진동이 모든 굴곡을 평균내어 지운다.

리만-르벡 보조정리

파르세발 항등식¶

$\frac1\pi\int |f|^2 = \frac{a_0^2}{2} + \sum(a_n^2+b_n^2)$ — 에너지 보존.

파르세발 항등식

10. 미분

미분가능¶

그 점에서 접선이 존재하는 것. 미분가능하면 연속이다.

미분가능 ⇒ 연속

평균값 정리¶

$[a,b]$ 에서 연속이고 $(a,b)$ 에서 미분가능하면 $f'(c) = (f(b)-f(a))/(b-a)$ 인 $c$ 가 존재한다.

평균값 정리

역함수 정리¶

$f'(a) \ne 0$ 이면 $f$ 는 $a$ 근처에서 역함수를 갖고, $(f^{-1})'(f(a)) = 1/f'(a)$ .

역함수 정리

코시 평균값 정리¶

두 함수에 대한 평균값 정리. 로피탈 정리의 바탕이다.

코시 평균값 정리

로피탈 정리¶

$0/0$ 이나 $\infty/\infty$ 꼴의 극한은 분자·분모를 각각 미분한 극한과 같다.

로피탈 정리

다르부 정리¶

도함수는 불연속이어도 중간값 성질을 갖는다 — $f'(a) < c < f'(b)$ 이면 $\xi \in (a,b)$ 가 있어 $f'(\xi) = c$ .

다르부 정리

다르부 성질¶

연속이 아니어도 중간값 성질을 갖는 성질. 도함수들의 전형적인 예이다.

다르부 정리

페르마 내부 극값 보조정리¶

내부 점 $c$ 에서 극대·극소를 갖고 미분가능하면 $f'(c) = 0$ . 다르부 정리의 증명에 쓰인다.

다르부 정리

헤비사이드 계단함수¶

$x < 0$ 에서 0, $x \ge 0$ 에서 1인 함수. 점프 불연속이라 어떤 함수의 도함수도 될 수 없다.

다르부 정리

점프 불연속¶

좌극한과 우극한이 모두 존재하지만 서로 다른 불연속. 도함수에서는 불가능하다.

다르부 정리

바이어슈트라스 함수¶

모든 점에서 연속이지만 어느 점에서도 미분 불가능한 함수 — $\sum a^n\cos(b^n\pi x)$ . 매끄러운 함수들의 균등극한이 미분가능하지 않을 수 있음을 보여준다.

바이어슈트라스 함수

테일러 급수¶

함수를 $x=a$ 에서의 도함수들로 만든 멱급수.

테일러 근사

테일러 정리¶

테일러 다항식과 나머지항 $R_n$ 의 정확한 형태를 주는 정리.

테일러 정리: 나머지 상한

볼록함수¶

현이 그래프 위에 뜨는 함수. $f(tx+(1-t)y) \le tf(x)+(1-t)f(y)$ .

볼록함수

옌센 부등식¶

볼록함수에 대한 " $f$ 의 평균 $\ge$ 평균의 $f$ ".

볼록함수

뉴턴 방법¶

$x_{n+1} = x_n - f(x_n)/f'(x_n)$ 으로 근을 찾는 반복법.

뉴턴법

바나흐 고정점 정리¶

완비 거리공간 위의 수축사상은 유일한 고정점을 갖는다.

바나흐 고정점

수축사상¶

거리를 일정 비율(1 미만) 이하로 줄이는 사상.

바나흐 고정점

도함수와 단조성¶

$f' \ge 0$ 이면 $f$ 는 증가, $f' > 0$ 이면 엄격히 증가 (평균값 정리) — 도함수의 부호가 함수의 오르내림을 결정한다.

도함수 부호와 단조성

불연속인 도함수¶

$x^2\sin(1/x)$ 는 모든 점에서 미분가능하지만 도함수는 $0$ 에서 불연속 — 미분가능 ⟹ 도함수 연속은 거짓.

불연속인 도함수

11. 적분

감마함수¶

$\Gamma(x) = \int_0^\infty t^{x-1}e^{-t}\,dt$ . 팩토리얼을 실수로 확장한다( $\Gamma(n+1) = n!$ ).

감마함수

베타 함수¶

$B(p,q) = \int_0^1 t^{p-1}(1-t)^{q-1}\,dt$ $(p, q > 0)$ . $B(p,q) = \Gamma(p)\Gamma(q)/\Gamma(p+q)$ 로 감마함수와 이어진다.

베타 함수

로그볼록¶

$\ln f$ 가 볼록함수인 성질. $f(1) = 1$ , $f(x+1) = x\,f(x)$ 와 함께 $\Gamma$ 를 유일하게 특정한다 (Bohr–Mollerup 정리).

보어-몰레루프 정리

이상적분¶

무한 구간이나 무한대 함숫값에 대한 적분을 극한으로 정의한 것.

이상적분

리만 적분¶

구간을 잘게 나누어 만든 리만 합의 극한.

리만합 스퀴즈

분할¶

구간을 나눈 점들의 집합.

리만합 스퀴즈

Volterra 함수¶

어디서나 미분가능하고 도함수가 유계이지만, 그 도함수는 리만 적분 불가능한 함수 — 팻 칸토어 집합 위에 $(x-a)^2(b-x)^2\sin\frac{1}{x-a}$ 형 혹들을 쌓아 만든다.

Volterra 함수

미적분학의 기본정리¶

미분과 적분은 서로 역연산이다.

미적분 기본정리

부분적분¶

$\int u\,dv = [uv] - \int v\,du$ . 곱의 미분법칙을 적분한 것이다.

부분적분

치환적분¶

$u = \varphi(x)$ 로 두면 $\int_a^b f(\varphi)\varphi' = \int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} f$ . 적분 구간이 치환을 따라간다.

치환적분

유계변동¶

분할을 잘게 쪼개도 $\sum \lvert f(x_i) - f(x_{i-1})\rvert$ 이 유한한 상한 안에 머무르는 성질. 단조함수는 모두 유계변동이다.

유계변동 함수

조르당 분해¶

유계변동 함수는 두 증가함수의 차로 쓸 수 있다: $f = g - h$ .

유계변동 함수

조르당 분해¶

유계변동 함수 $f$ 를 두 단조증가 함수 $g, h$ 의 차 $f = g - h$ 로 쓰는 것 — $g(x) = V_a^x(f)$ (변동함수), $h = g - f$ 로 두면 항상 성립한다.

조르당 분해

변동함수¶

$g(x) = V_a^x(f)$ : 구간 $[a, x]$ 에서의 전변동. $f$ 가 유계변동이면 $g$ 는 단조증가이며, $h = g - f$ 도 단조증가여서 조르당 분해 $f = g - h$ 가 성립한다.

조르당 분해

르베그 측도¶

길이·넓이·부피를 집합에 확장한 것.

르베그 측도

측도 0¶

전체 길이를 임의로 작게 잡은 구간들로 덮을 수 있는 집합.

르베그 측도

르베그 적분¶

함숫값 기준으로 나누어 적분하는 방식. 리만 적분보다 넓은 함수에 적용된다.

디리클레 vs 르벡

절대연속성¶

$\varepsilon > 0$ 마다 $\sum (b_i - a_i) < \delta$ 이면 $\sum |F(b_i) - F(a_i)| < \varepsilon$ 가 되는 $\delta > 0$ 이 존재하는 성질 — 균등연속의 "절대적" 강화. 정확히 $L^1$ 함수의 부정적분들이다.

절대연속성

디리클레 함수¶

유리수에서 1, 무리수에서 0인 함수 — 모든 상합은 1, 모든 하합은 0이라 리만 적분 불가능하다.

디리클레 함수

리만-스틸체스 적분¶

$\int_a^b f\,d\alpha = \lim \sum f(\xi_i)\,\Delta\alpha_i$ — $\alpha(x) = x$ 이면 리만 적분으로 돌아오고, 점프가 있으면 그 점의 함숫값이 적분을 지배한다.

리만-스틸체스 적분

르벡 수렴 정리¶

단조수렴·파투·지배수렴 — $\int \lim f_n = \lim \int f_n$ 이 성립하는 세 조건. 질량이 도망가면 깨진다.

르벡 수렴 정리

푸비니-토넬리 정리¶

음이 아닌 함수(Tonelli)나 적분 가능한 함수(Fubini)는 중적분을 어떤 순서로 계산해도 같다.

푸비니-토넬리 정리

에고로프 정리¶

유한 측도에서 a.e. 수렴하면, 측도가 작은 집합을 덜어낸 나머지에선 균등수렴한다.

에고로프 정리

보렐-칸텔리 보조정리¶

$\sum m(E_n) < \infty$ 이면 무한히 자주 일어나는 점들의 측도는 0. 독립이면 역도 성립.

보렐-칸텔리 보조정리

가브리엘의 나팔¶

$y = 1/x$ ( $x \ge 1$ )의 회전체 — 부피 $\pi$ 는 유한, 겉넓이는 무한대. 화가의 역설.

가브리엘의 나팔

비탈리 집합¶

선택공리로 $\mathbb{R}/\mathbb{Q}$ 에서 뽑은 대표원들의 집합 — 르벡 측도를 잴 수 없다.

비탈리 집합

적분기호 아래에서의 미분¶

$\frac{d}{dx}\int_a^b f(x,t)\,dt = \int_a^b \frac{\partial f}{\partial x}(x,t)\,dt$ — $\frac{\partial f}{\partial x}$ 가 연속이면 성립한다. 라이프니츠 규칙이라고도 한다.

적분기호 아래에서의 미분

민코프스키 부등식¶

$L^p$ 삼각부등식 $\|f+g\|_p \le \|f\|_p + \|g\|_p$ ( $p \ge 1$ ) — 횔더 부등식으로부터 유도된다.

민코프스키 부등식

길이를 잴 수 있는 곡선¶

꺾은선 길이들의 상한 $\sup_P \sum_i |\gamma(t_i) - \gamma(t_{i-1})|$ 이 유한한 곡선 — 그 상한이 바로 곡선의 길이이다. 연속이기만 해서는 부족하다: $x\sin(1/x)$ 의 그래프는 길이가 무한하다.

곡선의 길이

곡선의 길이¶

곡선 $\gamma$ 의 길이 $L = \sup_P \sum_i |\gamma(t_i) - \gamma(t_{i-1})|$ . $\gamma$ 가 $C^1$ 이면 $L = \int_a^b |\gamma'(t)|\,dt$ 와 같다.

곡선의 길이

꺾은선 근사¶

분할점에서의 곡선 값들을 곧은 선분으로 이은 꺾은선과 그 길이 $L(P) = \sum_i |\gamma(t_i) - \gamma(t_{i-1})|$ — 분할을 세분화하면 삼각부등식에 의해 길이가 줄어들지 않는다.

곡선의 길이

합성곱¶

$(f * g)(x) = \int f(t)\, g(x - t)\, dt$ — 한 함수를 뒤집어 밀면서 다른 함수와의 겹침을 가중 평균한 것으로, 교환법칙을 만족한다.

합성곱

근사 항등원¶

질량이 $1$ 이고 원점 근처에 몰린 핵들의 족 $\varphi_{\varepsilon}$ — 연속점에서 $(f * \varphi_{\varepsilon})(x) \to f(x)$ 가 되므로, 합성곱이 항등 연산에 가까워진다.

합성곱

지지집합¶

함수 $f$ 의 지지집합 $\operatorname{supp} f$ 는 $\{x : f(x) \ne 0\}$ 의 폐포 — $f$ 가 $0$ 이 아닌 영역을 닫힌 집합으로 만든 것이다.

합성곱