아벨 판정법

$A_n = \sum_{k=1}^{n} a_k$이라 두자.

가정에 의해 $A_n \to A$로 수렴한다.

$A_0 := 0$으로 두면 $m = 1$인 경우에도 아래 공식이 성립한다($A_{m-1} = A_0 = 0$).

부분합에 의한 합산 변환(아벨 변환)을 쓰면 $m \le n$에 대해 $\sum_{k=m}^{n} a_k b_k = A_n b_{n+1} - A_{m-1} b_m + \sum_{k=m}^{n} A_k (b_k - b_{k+1})$이다.

이는 $a_k = A_k - A_{k-1}$을 대입하고 망원합으로 정리하면 직접 확인할 수 있다.

이제 $A_k = A + \varepsilon_k$라 쓰면 $\varepsilon_k \to 0$이다.

합 $\sum_{k=m}^{n} A_k (b_k - b_{k+1})$은 $A(b_m - b_{n+1}) + \sum_{k=m}^{n} \varepsilon_k (b_k - b_{k+1})$로 나뉜다.

앞부분은 망원합이다.

핵심은 $(b_k)$의 단조성이다.

단조수열의 차분은 부호가 일정하므로 $\sum_{k=m}^{n} |b_k - b_{k+1}| = |b_m - b_{n+1}|$이다.

유계성 $|b_k| \le M$에서 이는 $2M$ 이하이다.

따라서 $\left|\sum_{k=m}^{n} \varepsilon_k (b_k - b_{k+1})\right| \le \max_{m \le k \le n} |\varepsilon_k| \cdot 2M$이다.

임의의 $\eta > 0$에 대해 $m$을 충분히 크게 잡으면 이 항은 $\eta \cdot 2M$보다 작아진다.

한편 경계항 $A_n b_{n+1} - A_{m-1} b_m$을 보자.

$b_k \to b$로 수렴하므로($b$는 단조·유계 수열의 극한) $A_n b_{n+1} - A_{m-1} b_m \to A b - A b = 0$ — 코시 의미에서 $m, n \to \infty$일 때 $0$으로 간다.

남은 항 $A(b_m - b_{n+1})$도 추정해야 한다: $|A(b_m - b_{n+1})| \le |A| \cdot |b_m - b_{n+1}|$이고, $b_k \to b$이므로 $m, n \to \infty$일 때 $|b_m - b_{n+1}| \to 0$이다(대략적으로는 $|b_m - b_{n+1}| \le 2M$).

따라서 이 항도 $0$으로 간다.

분해의 모든 항이 추정되었으므로, 앞 항과 합치면 $\sum_{k=m}^{n} a_k b_k$의 꼬리가 임의로 작아지므로 $\sum a_k b_k$의 부분합은 코시 수열이다.

따라서 수렴한다.

$a_k = (-1)^k/k$라 두면 $\sum a_k$는 교대급수(라이프니츠 판정법)로 수렴하고, 실제로 그 합은 $-\ln 2$이다. $b_k = 2 + 1/k$는 감소수열이고 $2 \le b_k \le 3$이므로 유계이다.

아벨 판정법의 조건이 그대로 성립하므로 $\sum_{k=1}^{\infty} a_k b_k = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k}\left(2 + \frac{1}{k}\right)$은 수렴한다.

디리클레 판정법이 직접 적용되지 않는 이유: 그 가설은 $b_k$가 단조로 $0$으로 가야 한다고 요구하는데, 여기서는 $b_k \to 2 \ne 0$이다. 물론 급수를 $2\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k} + \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k^2}$로 쪼개서 각각 수렴을 보일 수도 있지만, 그것은 아벨 판정법의 한계에 디리클레 판정법을 우회 적용하는 별개의 논증이지, 디리클레 판정법의 직접 적용이 아니다.

정확값도 구할 수 있다: $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k^2} = -\eta(2) = -\frac{\pi^2}{12}$이므로 극한은 $-2\ln 2 - \pi^2/12 \approx -2.2088$이다 — 미니 비주얼에서 $S_{500} \approx -2.2068$로 수렴하는 모습과 일치한다.

$a_k = (-1)^k/\sqrt{k}$라 두면 $1/\sqrt{k} \downarrow 0$이므로 라이프니츠 판정법으로 $\sum a_k$가 수렴한다(조건수렴). $b_k = \frac{k}{k+1}$에 대해 $b_k < b_{k+1}$은 통분하면 $k(k+2) < (k+1)^2$, 즉 $k^2 + 2k < k^2 + 2k + 1$과 동치이므로 $0 < 1$이 성립 — 따라서 $(b_k)$는 증가수열이다.

$b_k = \frac{k}{k+1} = 1 - \frac{1}{k+1}$이므로 $0 < b_k < 1$ — 유계이고 $\lim b_k = 1 \ne 0$이다. 디리클레 판정법의 “$b_k \to 0$” 가설은 또다시 실패한다.

$\sum a_k$가 수렴하고 $(b_k)$가 단조·유계이므로 아벨 판정법에 의해 $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^k}{\sqrt{k}} \cdot \frac{k}{k+1}$은 수렴한다. 수치로도 확인할 수 있다: $S_{120} \approx -0.2090$, $S_{400} \approx -0.2292$, $S_{500} \approx -0.2318$로 꼬리가 안정된다.