디리클레 판정법

흔들리는 급수를 가라앉는 가중치로 길들이는 장면입니다. 두 재료가 만나 수렴을 만듭니다.

사인 항들의 부분합은 이리저리 흔들리지만 일정한 울타리 안에 갇혀 있습니다. 거기에 0으로 가라앉는 가중치를 곱합니다. 흔들림의 폭이 점점 눌리면서 급수가 수렴합니다. 판정법의 정확한 조건은 아래 식과 같습니다.

예를 들면, ⚽ 공이 울타리 안에서만 이리저리 튑니다. 밀어 주는 힘이 점점 약해지면 공의 움직임도 잦아들어 한곳에 모입니다.

∑k=1Nsin⁡(kx)=sin⁡Nx2 sin⁡(N+1)x2sin⁡x2,∣∑k=1Nsin⁡(kx)∣≤1∣sin⁡(x/2)∣\sum_{k=1}^{N}\sin(kx) = \frac{\sin\frac{Nx}{2}\,\sin\frac{(N+1)x}{2}}{\sin\frac{x}{2}},\quad \left|\sum_{k=1}^{N}\sin(kx)\right| \le \frac{1}{|\sin(x/2)|}
∑n=1∞sin⁡(nx)n=π−x2,x∈(0,2π)\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(nx)}{n} = \frac{\pi-x}{2},\quad x \in (0, 2\pi)

이 씬이 포함된 학습 경로

예제

2π2\pi의 배수가 아닌 모든 xx에 대해 ∑n=1∞sin⁡(nx)n\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin(nx)}{n}이 수렴함을 보이세요.

∑k=1Nsin⁡(kx)=sin⁡Nx2 sin⁡(N+1)x2sin⁡x2\sum_{k=1}^{N} \sin(kx) = \frac{\sin\frac{Nx}{2}\,\sin\frac{(N+1)x}{2}}{\sin\frac{x}{2}}
∣∑k=1Nsin⁡(kx)∣≤1∣sin⁡(x/2)∣\left|\sum_{k=1}^{N} \sin(kx)\right| \le \frac{1}{|\sin(x/2)|}
x=1x=1: 부분합 ∣∑k≤Nsin⁡(kx)∣\left\lvert\sum_{k \le N}\sin(kx)\right\rvert이 1/sin⁡(0.5)≈2.08581/\sin(0.5) \approx 2.0858 아래에 갇혀 있습니다.
증명 보기

  1. xx가 2π2\pi의 배수가 아니면 sin⁡(x/2)≠0\sin(x/2) \neq 0이다. 곱-합 공식 2sin⁡x2sin⁡(kx)=cos⁡(k−12)x−cos⁡(k+12)x2\sin\frac{x}{2}\sin(kx) = \cos\left(k-\tfrac{1}{2}\right)x - \cos\left(k+\tfrac{1}{2}\right)x를 k=1k = 1부터 NN까지 더하면 망원급수가 되어 ∑k=1Nsin⁡(kx)=cos⁡x2−cos⁡(N+12)x2sin⁡x2=sin⁡Nx2sin⁡(N+1)x2sin⁡x2\sum_{k=1}^{N} \sin(kx) = \frac{\cos\frac{x}{2} - \cos\left(N+\tfrac{1}{2}\right)x}{2\sin\frac{x}{2}} = \frac{\sin\frac{Nx}{2}\sin\frac{(N+1)x}{2}}{\sin\frac{x}{2}}이다.

  2. 분자의 두 인자는 각각 절댓값이 11 이하이므로, 부분합은 NN과 무관하게 ∣∑k=1Nsin⁡(kx)∣≤1∣sin⁡(x/2)∣\left\lvert\sum_{k=1}^{N} \sin(kx)\right\rvert \le \frac{1}{|\sin(x/2)|}로 유계이다. x=1x = 1이면 1/sin⁡(0.5)≈2.08581/\sin(0.5) \approx 2.0858 — 캡션의 수치와 일치한다.

  3. bn=1/nb_n = 1/n은 단조 감소하며 00으로 간다.

    an=sin⁡(nx)a_n = \sin(nx)의 부분합이 유계이므로 디리클레 판정법(부분합에 의한 합산 변환)에 의해 ∑n=1∞anbn=∑n=1∞sin⁡(nx)n\sum_{n=1}^{\infty} a_n b_n = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin(nx)}{n}이 수렴한다.

    (실제로 x∈(0,2π)x \in (0, 2\pi)에서 이 급수는 (π−x)/2(\pi - x)/2이다.)

라이프니츠 교대급수 판정법이 디리클레 판정법의 따름정리임을 보이세요.

∣∑n=1N(−1)n∣≤1\left|\sum_{n=1}^{N} (-1)^n\right| \le 1
교대 부호의 부분합 ∣∑n≤N(−1)n∣\left\lvert\sum_{n \le N}(-1)^n\right\rvert은 11 이하 — 라이프니츠 판정법이 디리클레 판정법의 따름정리입니다.
증명 보기

  1. an=(−1)na_n = (-1)^n이라 두면 부분합은 NN이 짝수일 때 00, 홀수일 때 −1-1이다. 따라서 모든 NN에 대해 ∣∑n=1Nan∣≤1\left\lvert\sum_{n=1}^{N} a_n\right\rvert \le 1 — 디리클레 판정법의 유계 조건이 성립한다.

  2. 라이프니츠 판정법의 가정은 bn↓0b_n \downarrow 0이다. 디리클레 판정법을 (an,bn)(a_n, b_n) 쌍에 적용하면 ∑n=1∞(−1)nbn\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n b_n의 수렴이 바로 따라 나온다 — 교대급수 판정법은 디리클레 판정법에서 an=(−1)na_n = (-1)^n인 경우이다.

∑n=1∞(−1)nnn2+1\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{n}{n^2+1}이 수렴함을 보이세요.

bn=nn2+1,bn>bn+1  ⟺  n2+n−1>0b_n = \frac{n}{n^2+1}, \qquad b_n > b_{n+1} \iff n^2+n-1 > 0
b1=0.5>b2=0.4>⋯b_1 = 0.5 > b_2 = 0.4 > \cdots: bn=nn2+1b_n = \frac{n}{n^2+1}은 n≥1n \ge 1에서 단조 감소하며 00으로 갑니다.
증명 보기

  1. an=(−1)na_n = (-1)^n의 부분합은 모든 NN에 대해 절댓값이 11 이하이다(앞 문제와 같음). bn=nn2+1b_n = \frac{n}{n^2+1}은 0<bn<1n0 < b_n < \frac{1}{n}이므로 bn→0b_n \to 0이다.

  2. bnb_n의 단조성: bn>bn+1b_n > b_{n+1}은 통분하면 n((n+1)2+1)>(n+1)(n2+1)n\left((n+1)^2+1\right) > (n+1)(n^2+1)과 동치이고, 이는 n3+2n2+2n>n3+n2+n+1n^3+2n^2+2n > n^3+n^2+n+1, 즉 n2+n−1>0n^2+n-1 > 0과 동치이다.

    n=1n = 1에서 12+1−1=1>01^2+1-1 = 1 > 0이므로 모든 n≥1n \ge 1에서 성립한다.

    따라서 bn↓0b_n \downarrow 0.

  3. b1=12=0.5>b2=25=0.4b_1 = \frac{1}{2} = 0.5 > b_2 = \frac{2}{5} = 0.4 — 캡션의 수치와 일치한다. 디리클레 판정법에 의해 ∑n=1∞(−1)nnn2+1\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{n}{n^2+1}은 수렴한다.

7. 급수