그란디 급수

부분합이 1과 0을 영원히 오가는 장면입니다. 그래서 이 급수에는 합이 없습니다.

항을 하나 더하면 합이 1에서 0으로, 다시 1로 뒤집힙니다. 어느 한 값에 안착하지 않으니 수렴이 아닙니다. 사람들이 말하는 2분의 1은 부분합들의 평균일 뿐입니다. 평균이 있다고 해서 합이 있는 것은 아닙니다.

예를 들면, 🍬 사탕 한 개를 손에 쥐었다 내려놓기를 끝없이 반복합니다. 쥔 상태와 내려놓은 상태가 번갈아 와서 사탕이 있다고도 없다고도 정할 수 없습니다.

1−1+1−1+⋯diverges1-1+1-1+\cdots\quad\text{diverges}

예제

그란디 급수가 발산함을 부분합으로 직접 증명하세요.

Sn={1n odd0n evenS_n = \begin{cases}1 & n\ \mathrm{odd}\\0 & n\ \mathrm{even}\end{cases}
부분합이 1,01, 0을 영원히 오갑니다.
증명 보기

  1. Sn=1−1+⋯±1S_n = 1-1+\cdots\pm 1: nn이 홀수이면 11, 짝수이면 00입니다.

  2. 수열이 두 값만 무한히 오가므로 극한이 없습니다.

  3. 따라서 급수는 발산합니다 — "합"이 존재하지 않습니다.

체사로 평균 σN=S1+⋯+SNN\sigma_N = \frac{S_1+\cdots+S_N}{N}이 12\frac{1}{2}로 수렴함을 증명하세요.

σN=⌈N/2⌉N→12\sigma_N = \frac{\lceil N/2\rceil}{N} \to \frac{1}{2}
평균을 내면 진동이 가라앉아 1/21/2로 갑니다.
증명 보기

  1. SkS_k는 홀수 kk에서 11, 짝수 kk에서 00이므로, S1+⋯+SN=⌈N/2⌉S_1+\cdots+S_N = \lceil N/2\rceil입니다.

  2. σN=⌈N/2⌉N\sigma_N = \frac{\lceil N/2\rceil}{N}: N=2mN = 2m이면 m2m=12\frac{m}{2m} = \frac{1}{2}이고, N=2m+1N = 2m+1이면 m+12m+1→12\frac{m+1}{2m+1} \to \frac{1}{2}입니다.

  3. 따라서 σN→12\sigma_N \to \frac{1}{2}입니다. 이는 부분합의 "평균"이지, 급수의 합이 아닙니다.

발산급수를 멋대로 묶으면 00도 11도 "증명"됨을 보이고, 왜 틀렸는지 설명하세요.

(1−1)+(1−1)+⋯=0vs1+(−1+1)+(−1+1)+⋯=1(1-1)+(1-1)+\cdots = 0 \qquad\text{vs}\qquad 1+(-1+1)+(-1+1)+\cdots = 1
묶는 위치에 따라 답이 바뀝니다 — 둘 다 틀렸습니다.
증명 보기

  1. (1−1)+(1−1)+⋯=0+0+⋯=0(1-1)+(1-1)+\cdots = 0+0+\cdots = 0입니다.

  2. 한편 1+(−1+1)+(−1+1)+⋯=1+0+0+⋯=11+(-1+1)+(-1+1)+\cdots = 1+0+0+\cdots = 1입니다.

  3. 같은 급수에서 00과 11이 둘 다 "나오므로" 멋대로 묶기는 정당하지 않습니다. 묶기(결합법칙)는 수렴이 보장된 뒤에야 쓸 수 있습니다.

7. 급수