정수와 유리수

쌍을 묶는 방식으로 음수와 분수를 새로 만듭니다. 같은 수를 가리키는 쌍끼리 한 묶음이 됩니다.

정수는 자연수 쌍의 묶음으로 정의됩니다. 분수도 정수 쌍의 묶음입니다. 서로 다른 쌍이 같은 수를 나타낼 수 있기 때문입니다. 이 '묶어서 새 수를 만드는' 기술은 실수를 만들 때 다시 쓰입니다.

예를 들면, 💰 돈과 빚으로 순자산을 나타내는 것과 같습니다. 가진 돈 5만 원에 빚 3만 원이면 순자산은 2만 원입니다. 가진 돈 7만 원에 빚 5만 원이어도 똑같이 2만 원입니다. 쌍은 달라도 값은 같습니다.

(a,b)∼(c,d)  ⟺  a+d=b+c(a,b)\sim(c,d)\iff a+d=b+c
(a,b)∼(c,d)  ⟺  ad=bc(a,b)\sim(c,d)\iff ad=bc
p<q  ⟹  p<p+q2<qp<q \implies p<\frac{p+q}{2}<q

이 씬이 포함된 학습 경로

예제

(a,b)∼(a′,b′)(a,b)\sim(a',b')이고 (c,d)∼(c′,d′)(c,d)\sim(c',d')이라 하자.

(a+c,b+d)∼(a′+c′,b′+d′)(a+c,b+d)\sim(a'+c',b'+d')임을 증명하세요.

(덧셈 [(a,b)]+[(c,d)]=[(a+c,b+d)][(a,b)]+[(c,d)]=[(a+c,b+d)]이 대표원의 선택과 무관하게 잘 정의된다는 뜻이다.)

(a,b)∼(a′,b′), (c,d)∼(c′,d′)(a,b)\sim(a',b'),\ (c,d)\sim(c',d')
(a+c,b+d)∼(a′+c′,b′+d′)(a+c,b+d)\sim(a'+c',b'+d')
정수 모드 — 각 점은 순서쌍의 동치류이며, 대표원을 바꿔도 덧셈은 같다.
증명 보기

  1. 동치 관계의 정의에 따르면 (a,b)∼(a′,b′)(a,b)\sim(a',b')는 a+b′=a′+ba+b'=a'+b를 뜻하고, (c,d)∼(c′,d′)(c,d)\sim(c',d')는 c+d′=c′+dc+d'=c'+d를 뜻합니다.

  2. 두 등식을 변끼리 더하면 (a+b′)+(c+d′)=(a′+b)+(c′+d)(a+b')+(c+d')=(a'+b)+(c'+d)를 얻습니다. 자연수 덧셈의 결합법칙과 교환법칙으로 항을 재배열하면 (a+c)+(b′+d′)=(a′+c′)+(b+d)(a+c)+(b'+d')=(a'+c')+(b+d)입니다.

  3. 이는 정확히 (a+c,b+d)∼(a′+c′,b′+d′)(a+c,b+d)\sim(a'+c',b'+d')의 정의입니다. 따라서 [(a,b)]+[(c,d)][(a,b)]+[(c,d)]의 값은 (a,b)(a,b)와 (c,d)(c,d)의 대표원을 어떻게 고르든 달라지지 않습니다 — Z\mathbb{Z}의 덧셈은 잘 정의됩니다.

유리수 p<qp<q에 대해 m=p+q2m=\frac{p+q}{2}가 유리수이고 p<m<qp<m<q임을 증명하세요.

p<q  ⟹  p<p+q2<qp<q \implies p<\frac{p+q}{2}<q
유리수 모드, 최대 분모 4 — 어떤 두 유리수 사이에도 점이 하나 더 있다.
증명 보기

  1. p=abp=\frac{a}{b}, q=cdq=\frac{c}{d}라 두자 (b>0, d>0b>0,\ d>0). 그러면 m=p+q2=ad+bc2bdm=\frac{p+q}{2}=\frac{ad+bc}{2bd}이며, 분자와 분모가 정수이고 분모가 0이 아니므로 mm은 유리수입니다.

  2. p<qp<q이므로 양변에 pp를 더하면 2p<p+q2p<p+q를 얻고, 양의 수 22로 나누면 부등호의 방향이 유지되어 p<p+q2=mp<\frac{p+q}{2}=m입니다.

  3. 마찬가지로 p<qp<q의 양변에 qq를 더하면 p+q<2qp+q<2q, 즉 m<qm<q입니다.

    따라서 p<m<qp<m<q — 어떤 두 유리수 사이에도 항상 또 다른 유리수가 있으므로, 유리수는 "빽빽하다"(조밀하다)고 합니다.

    정수에서는 성립하지 않는 성질입니다 (연속된 정수 사이에는 정수가 없습니다).

0이 아닌 유리수 ab\frac{a}{b}에 대해 ba\frac{b}{a}가 그 곱셈 역원임을 증명하세요.

ab⋅ba=1(a≠0)\frac{a}{b}\cdot\frac{b}{a}=1\qquad(a\ne 0)
유리수 모드, 최대 분모 4 — 0이 아닌 점은 모두 곱셈 역원을 가진다.
증명 보기

  1. ab≠0\frac{a}{b}\ne 0은 a≠0a\ne 0을 뜻합니다 (b≠0b\ne 0은 유리수의 정의에 들어 있습니다). 따라서 분모가 a≠0a\ne 0인 분수 ba\frac{b}{a}는 정당한 유리수입니다.

  2. 분수 곱셈의 정의에 따라 ab⋅ba=abba\frac{a}{b}\cdot\frac{b}{a}=\frac{ab}{ba}입니다.

    곱셈의 교환법칙으로 ab=baab=ba이므로 이 분수는 abab=1\frac{ab}{ab}=1과 같습니다.

    즉 ba\frac{b}{a}는 ab\frac{a}{b}의 곱셈 역원입니다.

  3. 이로써 주장한 바가 정확히 증명됩니다: 0이 아닌 모든 유리수는 곱셈 역원을 가지므로, Q\mathbb{Q}에서는 0이 아닌 유리수로 나누기가 항상 가능합니다. 나머지 체 공리(덧셈·곱셈의 잘 정의됨, 결합법칙, 교환법칙, 분배법칙)는 여기서 증명하지 않습니다 — groups-fields 씬에서 검증되며, 그것들과 합쳐질 때 비로소 Q\mathbb{Q}가 체(field)가 됩니다.

2. 수의 체계