아벨 정리

$S_{-1} := 0$이라 두면 $a_n = S_n - S_{n-1}$입니다. $\sum_{n=0}^{N} (S_n - S_{n-1})x^n = \sum_{n=0}^{N} S_n x^n - x\sum_{n=0}^{N-1} S_n x^n$이므로, 정리하면 $\sum_{n=0}^{N} a_n x^n = S_N x^{N+1} + (1-x)\sum_{n=0}^{N} S_n x^n$ — Abel 변환(부분합산) 공식입니다.

고정된 $|x| < 1$에 대해 $N \to \infty$으로 보내면 경계항 $S_N x^{N+1} \to 0$입니다 ($S_N$은 수렴하므로 유계, $x^{N+1} \to 0$). 따라서 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n = (1-x)\sum_{n=0}^{\infty} S_n x^n$ — 우변은 $S_n$이 유계이므로 절대수렴합니다.

$(1-x)\sum_{n=0}^{\infty} x^n = 1$이므로 $\sum a_n x^n - S = (1-x)\sum_{n=0}^{\infty}(S_n - S)x^n$입니다. $\varepsilon > 0$에 대해 $n > N_0$이면 $|S_n - S| < \varepsilon/2$인 $N_0$을 잡고 합을 $n \le N_0$과 $n > N_0$으로 나눕니다.

꼬리: $\left|(1-x)\sum_{n>N_0}(S_n - S)x^n\right| \le (1-x)\frac{\varepsilon}{2}\sum_{n>N_0}x^n = \frac{\varepsilon}{2}x^{N_0+1} \le \frac{\varepsilon}{2}$ ($0 \le x < 1$).

앞부분: $\left|(1-x)\sum_{n=0}^{N_0}(S_n - S)x^n\right| \le (1-x)\sum_{n=0}^{N_0}|S_n - S| = (1-x)M$ ($x^n \le 1$).

$M$은 고정된 상수이므로 $x \to 1^{-}$에서 $0$으로 갑니다.

$x$가 $1$에 충분히 가까우면 합이 $\varepsilon$보다 작아집니다.

따라서 $\lim_{x \to 1^{-}} \sum a_n x^n = S$. ∎

먼저 정직하게: $\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n$은 발산합니다.

부분합 $S_k = 1$ ($k$ 짝수), $0$ ($k$ 홀수)이 영원히 오가며 극한이 없습니다 (그란디 장면).

지금 구하는 것은 급수의 "합"이 아니라 Abel 합입니다.

$|x| < 1$에서 기하급수 공식으로 $\sum_{n=0}^{N} (-x)^n = \frac{1-(-x)^{N+1}}{1+x}$입니다. 예: $x = 0.9$, $N = 20$이면 $S_{20}(0.9) = \frac{1-(-0.9)^{21}}{1.9} \approx 0.5839$, 오차는 정확히 $\frac{|(-0.9)^{21}|}{1.9} \approx 0.0576$입니다.

$|x| < 1$이면 $(-x)^{N+1} \to 0$이므로 $N \to \infty$에서 $\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^n = \frac{1}{1+x}$입니다. $x = 0.9$에서는 $1/1.9 \approx 0.5263$ — 이 값이 위 $S_{20}$의 진짜 타깃입니다.

이제 $x \to 1^{-}$: $\frac{1}{1+x} \to \frac{1}{2}$.

따라서 Abel 합 $\lim_{x \to 1^{-}} \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^n = \frac{1}{2}$입니다.

체사로 합 $\frac{1}{2}$와 같은 값이지만, 어느 쪽도 발산급수의 "합"은 아닙니다. ∎

$a_n = \frac{(-1)^n}{n+1}$이라 두면 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n$은 라이프니츠 판정법(교대, $\frac{1}{n+1} \searrow 0$)으로 수렴하고, 그 값은 $\ln 2 \approx 0.6931$입니다 (수치 확인: $N = 100000$에서 부분합 $\approx 0.69315218$, 오차 $\approx 5.0 \times 10^{-6}$).

Abel 정리(문제 1)를 적용하면 $\lim_{x \to 1^{-}} \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n = \ln 2$입니다. 그런데 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{n+1}}{n+1} = x \cdot \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$이고 $x \to 1$이므로, 구하는 극한은 $1 \cdot \ln 2 = \ln 2$입니다.

직접 확인도 됩니다: $0 \le x < 1$로 제한합니다.

이 범위에서는 적분 구간 $[0, x]$ 위의 $t$가 $0 \le t \le x < 1$을 만족하고 $1 + t \ge 1$입니다.

$|t| < 1$에서 $\sum_{n=0}^{N} (-t)^n = \frac{1-(-t)^{N+1}}{1+t}$를 $0$부터 $x$까지 적분하면 $\sum_{n=0}^{N} \frac{(-1)^n x^{n+1}}{n+1} = \ln(1+x) - R_N(x)$이며 $|R_N(x)| \le \int_0^x \frac{t^{N+1}}{1+t}\,dt \le \int_0^x t^{N+1}\,dt = \frac{x^{N+2}}{N+2} \to 0$ ($N \to \infty$)입니다($1 + t \ge 1$ 사용).

따라서 $0 \le x < 1$에서 멱급수의 합은 정확히 $\ln(1+x)$입니다.

$x = 1$인 경우는 이 적분 단계가 아니라 Abel 정리의 연속성으로 따릅니다.

$\ln(1+x) \to \ln 2$ ($x \to 1^{-}$)이므로 극한은 $\ln 2 \approx 0.6931$ — Abel 정리가 예측한 값과 일치합니다. 수렴급수에서는 Abel 합이 보통 합을 거스르지 않음을 보여주는 예입니다. ∎