8. 거듭제곱급수

수렴반경 안의 세계 — 아벨 정리와 타우버 정리, 급수의 재배열과 코시 곱을 다룹니다.

• 멱급수와 수렴반경 — 멱급수가 어느 범위 안에서 수렴하고 밖에서 무너지는지를 봅니다. 중심에서 반경 안쪽은 안전지대입니다. 안에서는 절댓값을 씌워도 수렴합니다. 바깥에서는 항 자체가 0으로 가지 못합니다. 경계선 위의 점들은 저마다 운명이 다릅니다. 예를 들면, 🏠 집의 와이파이와 비슷해요. 집 안에서는 잘 터지고, 멀어지면 끊겨요. 현관 앞에서는 될 때도 있고 안 될 때도 있어서 직접 확인해야 해요.
• Hadamard 간극 정리 — 항 사이 간격이 점점 벌어지는 급수의 경계 행동을 봅니다. 지수가 1, 2, 4, 8처럼 두 배씩 뛰면 빈칸이 커집니다. 그 빈칸 때문에 수렴원 위의 어느 점으로도 이어질 수 없습니다. 원 안에서는 멀쩡히 수렴하는데도 그렇습니다. 간격 없는 비교 급수는 얌전히 행동합니다. 예를 들면, 🪜 계단 칸이 1, 2, 4, 8칸씩 벌어지는 계단과 같아요. 처음에는 잘 오르지만, 나중에는 한 칸이 너무 멀어 벽 끝까지 닿을 수 없어요.
• 아벨 정리 — 급수의 합과 멱급수의 극한이 1에서 이어지는지를 봅니다. 원래 급수가 수렴하면, 1에 다가가는 멱급수도 같은 값을 향합니다. 아래 식이 그 내용입니다. 발산하는 그란디 급수도 이 극한에서는 2분의 1을 가리킵니다. 하지만 그것은 합이 아니라 아벨 합이라는 별도 약속입니다. 예를 들면, 🧑 친구가 1과 0을 번갈아 외치는 게임과 비슷해요. 뒤로 갈수록 목소리를 조금씩 줄이면, 전체 평균이 2분의 1 근처에서 잔잔해져요.
• 타우버 정리 — 아벨 합이 있으면 진짜 합도 있는지 거꾸로 묻는 장면입니다. 답은 조건이 붙을 때만 그렇습니다. 항들이 1 나누기 n보다 빠르게 작아져야 합니다. 그란디 급수는 항이 줄지 않아 이 조건이 깨집니다. 조건을 만족하는 급수에서는 아벨 합의 곡선이 보통 합에 닿습니다. 예를 들면, 🏠 집 현관까지 걸어가는 것과 같아요. 발걸음이 점점 작아져야 현관에 딱 멈출 수 있어요. 발걸음이 줄지 않으면 앞뒤로 계속 지나치기만 합니다.
• e로 가는 두 길 — e에 다가가는 두 길의 속도를 견주는 장면입니다. 복리 길은 횟수를 늘려도 한 걸음씩 느리게 다가갑니다. 팩토리얼 급수는 항이 순식간에 작아집니다. 몇 항만 더해도 자릿수가 금방 맞아떨어집니다. 예를 들면, 🐷 저금통의 💰 돈에 이자가 붙고 그 이자에 또 이자가 붙는 복리와 같아요. 횟수를 늘릴수록 e에 가까워지지만, 급수 쪽이 훨씬 먼저 도착해요.
• ζ(4)와 짝수 거듭제곱 — 네제곱 역수들을 모두 더하면 무엇이 나오는지를 봅니다. 부분합은 몇 항만으로 답에 바짝 붙습니다. 항이 네제곱으로 작아져 꼬리가 아주 짧기 때문입니다. 짝수 거듭제곱에서는 늘 원주율의 거듭제곱으로 닫힌 답이 나옵니다. 예를 들면, 🍰 케이크를 빠르게 줄어드는 조각으로 나눠 쌓는 것과 같아요. 조각이 금방 작아져서 전체 높이가 몇 조각만으로 정해져요.
• 재배열 정리 — 조건수렴 급수의 항 순서를 바꾸면 합이 어떻게 되는지를 봅니다. 양의 항도 음의 항도 끝없이 쌓여 있습니다. 그래서 어느 쪽을 먼저 꺼내느냐로 합을 밀고 당길 수 있습니다. 절댓값까지 수렴하는 급수에서는 이런 일이 없습니다. 예를 들면, 🐷 저금통에 💰 동전을 넣었다 뺐다 하는 순서를 바꾸는 것과 같아요. 넣을 동전과 뺄 동전이 끝없이 많으면, 순서만으로 잔액을 바꿀 수 있어요.
• 절대수렴 정리 — 절댓값 급수가 수렴하면 원래 급수도 따라 수렴하는지를 봅니다. 절댓값을 씌운 합이 유한하면 이야기가 끝납니다. 부호 있는 부분합은 그 안에서 출렁이다 한 점에 안착합니다. 반대로 절댓값은 발산해도 부호가 번갈면 상쇄가 도와 수렴하기도 합니다. 예를 들면, 🧑 사람이 앞으로 한 걸음, 뒤로 조금 걷는 것과 같아요. 걸음 폭을 전부 더해도 유한하면, 결국 어느 한 지점에 멈추게 돼요.
• 리만 재배열 정리 — 재배열만으로 원하는 합을 직접 만들어 보는 장면입니다. 탐욕 규칙은 간단합니다. 목표보다 작으면 양의 항을, 크면 음의 항을 꺼냅니다. 항이 점점 작아져서 지나치는 폭도 함께 줄어듭니다. 그래서 어떤 실수를 골라도 그 합에 정확히 붙습니다. 예를 들면, 🚗 자동차 핸들을 돌리는 것과 비슷해요. 지나치면 반대로, 모자라면 더 돌리는 식으로 조금씩 몰면 원하는 지점에 딱 멈출 수 있어요.
• 코시 곱 — 두 급수를 곱하면 항들이 어떻게 짝지어지는지를 봅니다. 곱의 각 항은 격자의 대각선을 따라 짝을 모아 만든 것입니다. 아래 식이 그 규칙입니다. 한쪽이 절대수렴하면 곱은 두 합의 곱으로 안착합니다. 둘 다 조건수렴이면 대각선의 합 자체가 무너질 수 있습니다. 예를 들면, 📦 상자들을 바둑판처럼 놓고 대각선으로 하나씩 주워 담는 것과 같아요. 주울 것들이 충분히 빨리 작아지면 바구니 속 총합이 정해져요.