ζ(4)와 짝수 거듭제곱

네제곱 역수들을 모두 더하면 무엇이 나오는지를 봅니다.

부분합은 몇 항만으로 답에 바짝 붙습니다. 항이 네제곱으로 작아져 꼬리가 아주 짧기 때문입니다. 짝수 거듭제곱에서는 늘 원주율의 거듭제곱으로 닫힌 답이 나옵니다.

예를 들면, 🍰 케이크를 빠르게 줄어드는 조각으로 나눠 쌓는 것과 같아요. 조각이 금방 작아져서 전체 높이가 몇 조각만으로 정해져요.

∑n=1∞1n4=π490\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^4}=\frac{\pi^4}{90}
ζ(2)=π26,ζ(6)=π6945\zeta(2)=\frac{\pi^2}{6},\quad \zeta(6)=\frac{\pi^6}{945}

예제

∑k=0∞1(2k+1)4=π496\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(2k+1)^4} = \frac{\pi^4}{96}을 ζ(4)\zeta(4)로부터 유도하세요.

∑odd1n4=ζ(4)−116ζ(4)=1516⋅π490=π496\sum_{\mathrm{odd}}\frac{1}{n^4}=\zeta(4)-\frac{1}{16}\zeta(4)=\frac{15}{16}\cdot\frac{\pi^4}{90}=\frac{\pi^4}{96}
짝수 항을 빼면 홀수 항만 남습니다.
증명 보기

  1. 짝수 항: ∑n=1∞1(2n)4=116∑n=1∞1n4=116ζ(4)\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n)^4} = \frac{1}{16}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^4} = \frac{1}{16}\zeta(4)입니다.

  2. 홀수 항 = 전체 − 짝수 항 =ζ(4)−116ζ(4)=1516ζ(4)= \zeta(4)-\frac{1}{16}\zeta(4) = \frac{15}{16}\zeta(4)입니다. (양항급수이므로 재배열이 정당합니다.)

  3. 1516⋅π490=π496\frac{15}{16}\cdot\frac{\pi^4}{90} = \frac{\pi^4}{96}입니다.

N≥1N \ge 1일 때 꼬리 RN=∑n>N1n4R_N = \sum_{n>N}\frac{1}{n^4}에 대해 RN<13N3R_N < \frac{1}{3N^3}을 적분 비교로 증명하세요.

RN<∫N∞dxx4=13N3R_N < \int_{N}^{\infty}\frac{dx}{x^4} = \frac{1}{3N^3}
N=8N = 8: 실제 꼬리 ≈0.000539<1/1536≈0.000651\approx 0.000539 < 1/1536 \approx 0.000651.
증명 보기

  1. f(x)=x−4f(x) = x^{-4}는 엄격히 감소하므로, n≥2n \ge 2에서 x∈[n−1,n)x \in [n-1, n)이면 x−4>n−4x^{-4} > n^{-4}라서 부등식이 엄격합니다: 1n4<∫n−1ndxx4\frac{1}{n^4} < \int_{n-1}^{n}\frac{dx}{x^4}입니다.

  2. N≥1N \ge 1이면 꼬리는 n=N+1≥2n = N+1 \ge 2에서 시작하므로 위 부등식을 모든 꼬리 항에 적용할 수 있고, 따라서 RN<∑n>N∫n−1ndxx4=∫N∞dxx4=13N3R_N < \sum_{n>N}\int_{n-1}^{n}\frac{dx}{x^4} = \int_{N}^{\infty}\frac{dx}{x^4} = \frac{1}{3N^3}입니다 — 엄격한 부등식입니다.

  3. N=8N = 8이면 한계는 11536≈0.000651\frac{1}{1536} \approx 0.000651 — 실제 꼬리 0.0005390.000539와 부합합니다.

ζ(2)=π26\zeta(2)=\frac{\pi^2}{6}, ζ(4)=π490\zeta(4)=\frac{\pi^4}{90}, ζ(6)=π6945\zeta(6)=\frac{\pi^6}{945}를 베르누이 수 공식으로 확인하세요. (공식 자체는 알려진 결과로 둡니다.)

ζ(2n)=(−1)n+1B2n(2π)2n2(2n)!\zeta(2n) = \frac{(-1)^{n+1}B_{2n}(2\pi)^{2n}}{2(2n)!}
짝수 제타값은 모두 π\pi의 거듭제곱 꼴입니다.
증명 보기

  1. 베르누이 수 B2=16B_2 = \frac{1}{6}, B4=−130B_4 = -\frac{1}{30}, B6=142B_6 = \frac{1}{42}를 공식 ζ(2n)=(2π)2n∣B2n∣2(2n)!\zeta(2n) = \frac{(2\pi)^{2n}|B_{2n}|}{2(2n)!}에 대입하면 세 값이 정확히 나옵니다.

    n=1n = 1: (2π)2(1/6)2⋅2!=4π2/64=π26\frac{(2\pi)^2(1/6)}{2\cdot 2!} = \frac{4\pi^2/6}{4} = \frac{\pi^2}{6}.

    n=2n = 2: (−1)3B4(2π)42⋅4!=(1/30)⋅16π448=π490\frac{(-1)^3 B_4 (2\pi)^4}{2\cdot 4!} = \frac{(1/30)\cdot 16\pi^4}{48} = \frac{\pi^4}{90}.

    n=3n = 3: (2π)6(1/42)2⋅6!=64π642⋅1440=π6945\frac{(2\pi)^6(1/42)}{2\cdot 6!} = \frac{64\pi^6}{42\cdot 1440} = \frac{\pi^6}{945}.

  2. ζ(3)\zeta(3) (아페리 상수)는 이런 꼴이 없습니다 — 짝수만의 패턴입니다.

  3. 공식 자체의 증명은 여기서 다루지 않습니다 — 알려진 결과로 둡니다.

8. 거듭제곱급수