타우버 정리

$L = 0$으로 환원합니다: $a_0$을 $a_0 - L$로 바꾸면 부분합은 $s_n - L$이 되고 (목표는 $0$), Abel 합은 $A(r) - L \to 0$이 되며, $n \ge 1$에 대한 $n\,a_n \to 0$은 그대로입니다. 이제 $A(r) \to 0$이라 가정합니다.

부분합 $s_n = a_0 + \cdots + a_n$ ($s_{-1} = 0$)에 대한 Abel 부분합 공식: $0 \le r < 1$에서 $A(r) = (1-r)\sum_{n \ge 0} s_n r^n$입니다.

정당화: $n\,a_n \to 0$이므로 $(a_n)$은 유계이고 $s_N = O(N)$이며, 따라서 $\sum s_n r^n$은 $|r| < 1$에서 절대수렴하고 ($\sum N|r|^N < \infty$), 경계항 $s_N r^N \to 0$입니다(지수 감소가 다항 증가를 이깁니다).

이 조건 아래에서 $a_n = s_n - s_{n-1}$을 대입한 부분합 재배열 $\sum (s_n - s_{n-1}) r^n = (1-r)\sum s_n r^n$이 정당합니다.

$\varepsilon > 0$이 주어지면 $n \ge M$에서 $|n\,a_n| \le \varepsilon$인 $M$을 잡습니다 ($n\,a_n \to 0$). $n, N \ge M$에 대해 $|s_N - s_n| = |\sum a_k| \le \varepsilon\sum \frac{1}{k} \le \varepsilon\,|\ln(n/N)|$입니다 ($\frac{1}{k} \le \int_{k-1}^{k}\frac{dx}{x}$ 이용).

$(1-r)\sum r^n = 1$이므로 $s_N - A(r) = (1-r)\sum_{n \ge 0}(s_N - s_n)\,r^n$입니다.

$r = r_N = 1 - \frac{1}{N}$로 두고 합을 $n < M$과 $n \ge M$으로 나눕니다.

$n < M$ 부분: $|s_N| \le |s_M| + \varepsilon\ln(N/M)$이므로 기여도는 $\frac{1}{N}\,M\,(|s_N| + \max_{n<M}|s_n|) \to 0$ ($N \to \infty$).

$n \ge M$ 부분은 $(1 - r_N) = \frac{1}{N}$이므로 $\varepsilon\cdot\frac{1}{N}\sum_{n \ge M}|\ln(n/N)|\left(1-\frac{1}{N}\right)^n$ 이하입니다.

지배 논증: $u = n/N$으로 두면, $n \le N$에서는 $|\ln u|$의 $u = 0$ 특이점이 적분가능하고($\int_0^1 |\ln u|\,du = 1$), $n > N$에서는 $\left(1-\frac{1}{N}\right)^n \le e^{-n/(2N)}$ ($N \ge 2$)이라 꼬리가 $|\ln u|\,e^{-u/2}$라는 적분가능한 envelope로 지배됩니다.

$n < M$ 구간은 유한히 처리됩니다.

따라서 리만합에 대한 지배수렴으로, $N \to \infty$에서 이 식은 $\int_0^{\infty} |\ln u|\,e^{-u}\,du$로 수렴하므로, 기여도는 $\varepsilon\,C_0$ (유한 상수 $C_0 = \int_0^{\infty} |\ln u|\,e^{-u}\,du$)로 수렴합니다.

$r_N \to 1$이고 Abel 합이 $0$이므로 $|A(r_N)| \to 0$입니다.

따라서 $\limsup_{N \to \infty} |s_N| \le C_0\,\varepsilon$이고, $\varepsilon > 0$이 임의이므로 $s_N \to 0$ — 즉 $\sum a_n = L$이 수렴합니다.

가설 $n\,a_n \to 0$이 $r_N$ 가중치가 $N$ 근처에 집중될 때 $s_n \approx s_N$임을 보장한 것이 증명의 핵심입니다.

$|r| < 1$에서 $\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n r^n = \sum_{n=0}^{\infty} (-r)^n = \frac{1}{1-(-r)} = \frac{1}{1+r}$입니다 (등비급수). $r \to 1^{-}$에서 $A(r) = \frac{1}{1+r} \to \frac{1}{2}$ — 그란디 급수는 $\frac{1}{2}$에 Abel 총합가능합니다.

부분합: $S_N = 1 - 1 + \cdots \pm 1$에서 $N$이 짝수이면 항이 $N+1$개(홀수 개)이므로 $S_N = 1$, $N$이 홀수이면 $S_N = 0$입니다. 두 값만 영원히 오가므로 극한이 없고, 급수는 발산합니다 — $\frac{1}{2}$는 결코 이 급수의 "합"이 아닙니다.

$a_n = (-1)^n$이므로 $n\,a_n = n\,(-1)^n$, 즉 $|n\,a_n| = n \to \infty$입니다.

타우버 가설 $a_n = o(1/n)$이 깨지므로, 정리가 결론(수렴)을 보장하지 않아도 모순이 없습니다 — 실제로 결론도 깨집니다 (발산).

가설 없이는 Abel 합이 수렴을 강제하지 못합니다.

$|n\,d_n| = \frac{n}{(n+1)\ln(n+2)} = \frac{1}{1 + 1/n}\cdot\frac{1}{\ln(n+2)} \to 1\cdot 0 = 0$입니다 — 한 줄로 $d_n = o(1/n)$이 성립합니다.

$|d_n| = \frac{1}{(n+1)\ln(n+2)}$는 분모가 $n$에 대해 단조증가하므로 $0$으로 단조감소합니다. 교대급수 판정법(Leibniz)에 의해 $\sum d_n$은 (조건)수렴합니다 — 수치적으로 $S_D \approx 1.13645$ (20000항), $|S_{4000} - S_{2000}| \approx 1.8\times 10^{-5}$.

각 고정된 $r < 1$에 대해 $\sum |d_n|\,r^n$이 수렴하므로(등비급수 majorant) $A_D(r)$이 정의될 뿐, 그것만으로는 $A_D(r) \to L$이 나오지 않습니다.

이미 $\sum d_n$이 $S_D$로 수렴함을 보였으므로, Abel 연속성 정리에 의해 $A_D(r) \to S_D$ ($r \to 1^{-}$)입니다 — 즉 Abel 합은 보통 합 $S_D$와 같습니다.

(이는 타우버 정리가 아니라, 이미 수렴하는 급수에 대한 Abel 연속성입니다.)

수치 확인: $A_D(0.999) \approx 1.13666$으로 $S_{4000} \approx 1.13643$과 $\approx 2.3\times 10^{-4}$ 차이 — 정리가 약속한 일치가 그림에 그대로 나타납니다.