리만 재배열 정리

재배열만으로 원하는 합을 직접 만들어 보는 장면입니다.

탐욕 규칙은 간단합니다. 목표보다 작으면 양의 항을, 크면 음의 항을 꺼냅니다. 항이 점점 작아져서 지나치는 폭도 함께 줄어듭니다. 그래서 어떤 실수를 골라도 그 합에 정확히 붙습니다.

예를 들면, 🚗 자동차 핸들을 돌리는 것과 비슷해요. 지나치면 반대로, 모자라면 더 돌리는 식으로 조금씩 몰면 원하는 지점에 딱 멈출 수 있어요.

∑an converges conditionally ⟹ ∀ s∈R  ∃ rearrangement with sum s\sum a_n\ \text{converges conditionally}\ \Longrightarrow\ \forall\, s\in\mathbb{R}\ \ \exists\ \text{rearrangement with sum } s

이 씬이 포함된 학습 경로

예제

실수 항 급수 ∑an\sum a_n이 조건수렴한다고 하자.

pn=max⁡(an,0)p_n = \max(a_n, 0), qn=max⁡(−an,0)q_n = \max(-a_n, 0)이라 두면 (0인 항은 무시해도 되므로 양항/음항 부분수열로 다시 번호를 매긴 것과 같다), ∑pn=+∞\sum p_n = +\infty이고 ∑qn=+∞\sum q_n = +\infty임을 증명하세요.

an=pn−qn,∣an∣=pn+qna_n = p_n - q_n, \qquad \lvert a_n \rvert = p_n + q_n
∑pn<∞ ⟹ ∑qn=∑pn−∑an<∞ ⟹ ∑∣an∣<∞(contradiction)\sum p_n < \infty \ \Longrightarrow\ \sum q_n = \sum p_n - \sum a_n < \infty \ \Longrightarrow\ \sum \lvert a_n \rvert < \infty \quad \text{(contradiction)}
목표 s=1s = 1, N=120N = 120: S120≈0.9967S_{120} \approx 0.9967, 오차 ≈0.00326\approx 0.00326 — 양항 78개·음항 42개를 썼고, 양쪽 블록이 영원히 반복됩니다 (아래 증명이 그 이유).
증명 보기

  1. 항별로 an=pn−qna_n = p_n - q_n이고 ∣an∣=pn+qn\lvert a_n \rvert = p_n + q_n입니다 (0인 항은 양쪽에 기여하지 않으므로 부분수열로 다시 번호를 매긴 것과 같습니다). 조건수렴 가정은 ∑(pn−qn)\sum (p_n - q_n)이 수렴하고 ∑(pn+qn)\sum (p_n + q_n)이 발산한다는 뜻입니다.

  2. ∑pn<∞\sum p_n < \infty이라고 가정합니다. ∑an=∑(pn−qn)\sum a_n = \sum (p_n - q_n)이 수렴하므로, qn=pn−(pn−qn)q_n = p_n - (p_n - q_n)에서 ∑qn=∑pn−∑an\sum q_n = \sum p_n - \sum a_n은 수렴급수들의 차로 수렴합니다.

  3. 그러면 ∑∣an∣=∑pn+∑qn<∞\sum \lvert a_n \rvert = \sum p_n + \sum q_n < \infty — 즉 ∑an\sum a_n이 절대수렴하게 되어, 조건수렴(절대수렴하지 않음) 가정에 모순입니다. 따라서 ∑pn=+∞\sum p_n = +\infty입니다.

  4. 대칭적으로: ∑qn<∞\sum q_n < \infty이면 pn=qn+(pn−qn)p_n = q_n + (p_n - q_n)에서 ∑pn=∑qn+∑an\sum p_n = \sum q_n + \sum a_n이 수렴하고, 역시 ∑∣an∣<∞\sum \lvert a_n \rvert < \infty가 되어 모순입니다.

    따라서 ∑qn=+∞\sum q_n = +\infty입니다.

    직관: 조건수렴 급수는 "양의 무한대"와 "음의 무한대"를 둘 다 품고 있어, 재배열이 둘 사이를 오가며 어떤 목표든 맞출 수 있습니다.

이 씬의 탐욕 걸음(greedy walk)으로 목표 s=1s = 1을 노리세요.

처음 몇 개 블록이 끝난 뒤의 부분합 S2,S3,S4,S5,S7,S8S_2, S_3, S_4, S_5, S_7, S_8을 직접 계산하고, 각 overshoot/undershoot이 그 경계를 넘게 한 항의 크기 이하임을 확인하세요.

S2=43, S3=56, S4=3130, S5=4760, S7=13071260, S8=10971260S_2 = \tfrac43,\ S_3 = \tfrac56,\ S_4 = \tfrac{31}{30},\ S_5 = \tfrac{47}{60},\ S_7 = \tfrac{1307}{1260},\ S_8 = \tfrac{1097}{1260}
gaps: 13, 16, 130, 1360, 471260, 1631260 ≤ crossing term each time\text{gaps: }\tfrac13,\ \tfrac16,\ \tfrac1{30},\ \tfrac{13}{60},\ \tfrac{47}{1260},\ \tfrac{163}{1260}\ \le\ \text{crossing term each time}
목표 s=1s = 1, N=120N = 120: 경계 간격이 13→16→130→1360→471260→1631260\frac13 \to \frac16 \to \frac1{30} \to \frac{13}{60} \to \frac{47}{1260} \to \frac{163}{1260}으로 조여들며 S120≈0.9967S_{120} \approx 0.9967, 오차 ≈0.00326\approx 0.00326.
증명 보기

  1. 규칙은 t≤st \le s이면 다음 양항, t>st > s이면 다음 음항을 취하는 것입니다. s=1s = 1에서 t0=0t_0 = 0이므로 첫 항은 양항: S1=0+p1=1S_1 = 0 + p_1 = 1 — 걸음이 목표에 정확히 착지합니다 (간격 0).

  2. S1=1≤1S_1 = 1 \le 1이므로 양항을 한 번 더: S2=1+p2=1+13=43S_2 = 1 + p_2 = 1 + \frac13 = \frac43 — 첫 양항 블록이 끝나고 overshoot은 13=p2\frac13 = p_2입니다 (걸음이 ss 위에 정확히 서 있는 상태에서 위로 넘으면 등호가 성립; 아래 보조정리 참조). 이어서 S3=43−q1=43−12=56S_3 = \frac43 - q_1 = \frac43 - \frac12 = \frac56 — 첫 음항 블록, undershoot 16<q1=12\frac16 < q_1 = \frac12.

  3. 계속합니다: S4=56+p3=56+15=3130S_4 = \frac56 + p_3 = \frac56 + \frac15 = \frac{31}{30} (overshoot 130<p3=15\frac1{30} < p_3 = \frac15), S5=3130−q2=3130−14=4760S_5 = \frac{31}{30} - q_2 = \frac{31}{30} - \frac14 = \frac{47}{60} (undershoot 1360<q2=14\frac{13}{60} < q_2 = \frac14).

    다음 양항 블록은 두 항을 씁니다: S6=4760+p4=389420<1S_6 = \frac{47}{60} + p_4 = \frac{389}{420} < 1 (아직 경계를 못 넘음), S7=389420+p5=13071260S_7 = \frac{389}{420} + p_5 = \frac{1307}{1260} (overshoot 471260<p5=19\frac{47}{1260} < p_5 = \frac19).

    그리고 S8=13071260−q3=10971260S_8 = \frac{1307}{1260} - q_3 = \frac{1097}{1260} (undershoot 1631260<q3=16\frac{163}{1260} < q_3 = \frac16).

  4. 모든 값이 모델 계산과 일치합니다 (테스트에서 유리수 그대로 검증).

    간격 수열 13,16,130,1360,471260,1631260\frac13, \frac16, \frac1{30}, \frac{13}{60}, \frac{47}{1260}, \frac{163}{1260}은 단조가 아니지만, 각 간격이 그 경계를 넘게 한 항의 크기 이하이며 항의 크기는 00으로 갑니다.

    120개 항 뒤에는 S120≈0.9967S_{120} \approx 0.9967, 오차 ≈0.00326\approx 0.00326 — 걸음이 목표를 향해 조여들고 있습니다.

탐욕 재배열이 목표 ss로 수렴함을 증명하세요: 양쪽 블록이 영원히 반복되고, 매번 경계를 넘을 때의 overshoot/undershoot이 그 경계를 넘게 한 항의 크기 이하이며, 항의 크기가 00으로 가므로 ∣SN−s∣→0\lvert S_N - s \rvert \to 0입니다.

t≤s⇒S−s≤p(crossing up),t>s⇒s−S<q(crossing down)t \le s \Rightarrow S - s \le p \quad (\text{crossing up}), \qquad t > s \Rightarrow s - S < q \quad (\text{crossing down})
∣SN−s∣≤max⁡(qlast,pcross)  →N→∞  0\lvert S_N - s \rvert \le \max(q_{\text{last}}, p_{\text{cross}}) \;\xrightarrow[N\to\infty]{}\; 0
목표 s=1s = 1, N=120N = 120: S120≈0.9967S_{120} \approx 0.9967, 오차 ≈0.00326\approx 0.00326 — 항 크기가 00으로 가면서 걸음의 진폭도 함께 사라집니다.
증명 보기

  1. 교대조화급수 ∑(−1)n+1n\sum \frac{(-1)^{n+1}}{n}은 조건수렴합니다 (Leibniz 판정법으로 수렴, ∑1n\sum \frac1n 발산으로 절대수렴 실패). 양항 pk=12k−1p_k = \frac{1}{2k-1}과 음항 크기 qk=12kq_k = \frac{1}{2k}에 대해 ∑pk=∑qk=+∞\sum p_k = \sum q_k = +\infty입니다 (앞 문제의 따름정리, 또는 12k−1≥12k\frac{1}{2k-1} \ge \frac{1}{2k}와 조화급수 비교로 직접 확인).

  2. 양쪽 블록이 영원히 반복됩니다.

    양항이 유한 번만 쓰였다고 가정하면, 어느 시점부터는 음항만 취하므로 부분합은 매번 qjq_j씩 감소하고 ∑qj=∞\sum q_j = \infty이니 t→−∞t \to -\infty — 결국 t≤st \le s가 되어 규칙이 양항을 취하게 되므로 모순입니다.

    음항에 대해서도 대칭적으로 (그렇지 않으면 t→+∞t \to +\infty가 되어 음항을 취하게 됨) 양쪽 블록이 무한히 반복됩니다.

    각 블록은 아직 쓰지 않은 다음 항부터 차례로 쓰므로, 결국 모든 pip_i와 모든 qjq_j가 정확히 한 번씩 쓰입니다 — 즉 진짜 재배열입니다.

  3. 경계 넘기 보조정리: t≤st \le s에서 pp를 더해 위로 넘으면 새 간격은 (t+p)−s=p−(s−t)≤p(t + p) - s = p - (s - t) \le p (등호는 t=st = s일 때만).

    t>st > s에서 qq를 빼 아래로 넘으면 새 간격은 s−(t−q)=q−(t−s)<qs - (t - q) = q - (t - s) < q.

    따라서 매번의 overshoot/undershoot은 그 경계를 넘게 한 항의 크기 이하입니다.

  4. 이제 양항 블록 하나를 봅니다 (첫 번째 경계 넘기 이후의 블록; 처음 몇 항은 유한하므로 수렴에 영향 없음).

    undershoot 간격 ε\varepsilon (보조정리로 ε≤qlast\varepsilon \le q_{\text{last}}, 마지막으로 쓴 음항 크기)에서 시작해 블록이 단조증가하므로, 경계를 넘기 전에는 s−S≤εs - S \le \varepsilon, 경계를 넘은 단계에서는 S−s≤pcrossS - s \le p_{\text{cross}}입니다.

    즉 블록 전체에서 ∣SN−s∣≤max⁡(qlast,pcross)\lvert S_N - s \rvert \le \max(q_{\text{last}}, p_{\text{cross}})입니다.

  5. 블록이 영원히 반복되므로 (2단계) 양항·음항 번호는 둘 다 ∞\infty로 가고, qlast→0q_{\text{last}} \to 0이며 pcross→0p_{\text{cross}} \to 0입니다 (경계를 넘긴 양항들은 pip_i의 부분수열).

    따라서 ∣SN−s∣→0\lvert S_N - s \rvert \to 0, 즉 SN→sS_N \to s입니다.

    음항 블록도 대칭적입니다.

    이것은 유한한 ss에 대한 리만 재배열 정리의 탐욕 증명입니다.

    (±∞\pm\infty인 경우는 이 명제의 범위 밖이며 별도 구성이 필요합니다: 예를 들어 목표 +∞+\infty에서는 고정된 목표 ss를 단계 목표 m→+∞m \to +\infty로 바꾸어, mm단계에서 부분합이 mm을 넘을 때까지 양항을 취하는 식으로 수정합니다.)

8. 거듭제곱급수