칸토어 정리 | Real Analysis

어떤 집합도 그 부분집합 전체의 모임보다는 작음을 봅니다. 목록의 대각선을 뒤집어 새 원소를 만듭니다.

멱집합은 부분집합을 전부 모은 집합입니다. 원소가 하나 늘면 부분집합은 두 배로 늘어납니다. 그래서 짝짓기를 시도하면 언제나 남는 쪽이 생깁니다. 대각선을 뒤집은 집합이 바로 그 남는 쪽입니다.

예를 들면, 🧑 친구 3명의 부분집합은 8가지입니다. 세 명보다 부분집합이 훨씬 많습니다. 인원이 늘수록 차이는 벌어지기만 합니다. 무한에서도 이 차이는 사라지지 않습니다.

예제

칸토어 정리를 완전히 증명하세요: 임의의 집합 $X$ 에 대해 $\lvert X \rvert < \lvert\mathcal{P}(X) \rvert$ 입니다.

단사 $x \mapsto \{x\}$ 로 $\le$ 를 얻고, $D = \{x : x \notin f(x)\}$ 대각선 논법으로 전사가 없음을 보이세요.

D = \{x \in X : x \notin f(x)\}, \qquad y \in D \iff y \notin f(y)

\lvert X \rvert \le \lvert\mathcal{P}(X)\rvert \ \text{ via } \ x \mapsto \{x\}, \qquad \lvert X \rvert \ne \lvert\mathcal{P}(X)\rvert \ \text{(no surjection)}

n = 5

: 표에 나열된 5개의 행 뒤에 뒤집힌 행

11111

이 있고, 이는 각 row

i

와 column

i

에서 다릅니다 — 아래 증명의 유한 버전입니다.

증명 보기

$\lvert X \rvert \le \lvert\mathcal{P}(X)\rvert$ 는 단사함수 $\iota: X \to \mathcal{P}(X)$ , $\iota(x) = \{x\}$ 로 얻습니다: $\{x\} = \{y\}$ 이면 $x = y$ 이므로 $\iota$ 는 단사입니다. ( $X = \varnothing$ 이면 공함수가 단사입니다.)
이제 어떤 $f: X \to \mathcal{P}(X)$ 도 전사가 아님을 보입니다.
대각선 집합 $D = \{x \in X : x \notin f(x)\}$ 를 둡니다 ( $D \subseteq X$ 이므로 $D \in \mathcal{P}(X)$ ).
$f$ 가 전사라면 $D = f(y)$ 인 $y \in X$ 가 존재합니다.
그 $y$ 에 대해: $y \in D$ 는 정의에 의해 $y \notin f(y)$ 와 동치이고, $f(y) = D$ 이므로 이는 $y \notin D$ 와 동치입니다.
즉 $y \in D \iff y \notin D$ — 모순입니다.
따라서 그런 $y$ 는 없고, $D$ 는 $f$ 의 치역에 없으며, $f$ 는 전사가 아닙니다.
$\lvert X \rvert = \lvert\mathcal{P}(X)\rvert$ 라면 전단사함수가 존재하고, 전단사는 특히 전사이므로 위와 모순입니다.
따라서 $\lvert X \rvert \ne \lvert\mathcal{P}(X)\rvert$ 이며, 첫 단계의 $\le$ 와 합쳐 $\lvert X \rvert < \lvert\mathcal{P}(X)\rvert$ 를 얻습니다.
증명 끝.

$(0,1)$ 이 비가산임을 완전히 증명하세요: 열거를 가정하고 소수 전개를 써서, $0$ 과 $9$ 를 피하면서 $n$ 번째 수의 $n$ 번째 자리와 다른 자릿수를 골라 대각선 수 $y$ 를 만드세요 ( $0.0999\ldots = 0.1000\ldots$ 의 모호함을 피하기 위함).

y = 0.e_1 e_2 \cdots, \qquad e_n = \begin{cases} 4 & d_{nn} = 5 \\ 5 & d_{nn} \ne 5 \end{cases}

e_n \ne d_{nn}, \quad e_n \notin \{0, 9\}, \quad y \in (0,1), \quad y \ne x_n \ \forall n

n = 5

: 5개의 행으로는

2^5 = 32

개의 가능한 행을 다 못 세듯,

(0,1)

의 수들을 아무리 나열해도 대각선 수는 빠져나갑니다.

증명 보기

$(0,1)$ 이 가산이라 가정하고 열거 $x_1, x_2, \ldots$ 를 둡니다. 각 $x_n$ 을 소수 전개 $x_n = 0.d_{n1}d_{n2}\cdots$ 로 씁니다 ( $d_{nk} \in \{0,\ldots,9\}$ ).
대각선 수 $y = 0.e_1 e_2 \cdots$ 를 $e_n = 4$ ( $d_{nn} = 5$ 인 경우), $e_n = 5$ (그 외)로 정의합니다. 그러면 모든 $n$ 에 대해 $e_n \ne d_{nn}$ 이고 $e_n \in \{4, 5\}$ 이므로 $0$ 과 $9$ 가 전혀 등장하지 않습니다.
$y \in (0,1)$ 입니다: $0.444\ldots \le y \le 0.555\ldots$ .
이제 $y = x_n$ 이라 하면, $y$ 의 소수 전개에는 $0$ 도 $9$ 도 없으므로 꼬리가 무한 $0$ 또는 무한 $9$ 인 다른 전개가 있을 수 없고 — 두 소수 전개가 같은 수를 나타내면서 다를 수 있는 경우는 정확히 한쪽이 무한 $0$ , 다른 쪽이 무한 $9$ 로 끝날 때뿐이므로 — $y$ 의 전개는 유일합니다.
따라서 $x_n$ 의 $n$ 번째 자리는 $e_n$ 이어야 하지만, 이는 $e_n \ne d_{nn}$ 에 모순됩니다.
따라서 $y$ 는 어떤 $x_n$ 과도 다르고, 열거가 $(0,1)$ 전체가 아니라는 모순이 생깁니다.
$(0,1)$ 은 가산이 아니므로 비가산입니다.
증명 끝.

유한집합 $\lvert X \rvert = n$ 에 대해 $\lvert\mathcal{P}(X)\rvert = 2^n > n$ 임을 귀납법으로 완전히 증명하세요.

위 그림의 $n \times n$ 표와 연결지어 설명하세요: $2^n$ 개의 가능한 행 중 $n$ 개만 나열되어 있습니다.

\mathcal{P}(X) = \mathcal{P}(X') \;\sqcup\; \{A \cup \{x_0\} : A \in \mathcal{P}(X')\}, \qquad \lvert\mathcal{P}(X)\rvert = 2\,\lvert\mathcal{P}(X')\rvert

\lvert\mathcal{P}(X)\rvert = 2^n > n \qquad (n \ge 0)

n = 5

: 가능한 0/1 행은

2^5 = 32

개인데 표에는 5개만 있습니다 — 뒤집힌 행이 목록 밖에 있는 것은 필연입니다.

증명 보기

$\lvert X \rvert = n$ 일 때 $\lvert\mathcal{P}(X)\rvert = 2^n$ 을 $n$ 에 대한 귀납법으로 증명합니다. $n = 0$ : $X = \varnothing$ 이고 $\mathcal{P}(\varnothing) = \{\varnothing\}$ 이므로 $\lvert\mathcal{P}(X)\rvert = 1 = 2^0$ 입니다.
귀납 단계: $\lvert X \rvert = n+1$ 이고 $x_0 \in X$ , $X' = X \setminus \{x_0\}$ 라 둡니다.
$X$ 의 부분집합은 $x_0$ 을 포함하거나 포함하지 않으므로, $\mathcal{P}(X) = \mathcal{P}(X') \;\sqcup\; \{A \cup \{x_0\} : A \in \mathcal{P}(X')\}$ (서로소 합집합)입니다.
따라서 $\lvert\mathcal{P}(X)\rvert = 2\,\lvert\mathcal{P}(X')\rvert = 2 \cdot 2^n = 2^{n+1}$ (귀납 가설 사용).
$2^n > n$ ( $n \ge 0$ )도 귀납법으로: $n = 0$ 에서 $1 > 0$ .
$2^n > n$ 이면 $2^{n+1} = 2 \cdot 2^n > 2n \ge n+1$ ( $n \ge 1$ ; $n = 0$ 은 직접 확인)입니다.
따라서 $\lvert\mathcal{P}(X)\rvert = 2^n > n = \lvert X \rvert$ .
그림과의 연결: $X = \{0,\ldots,n-1\}$ 의 부분집합은 0/1 행 $2^n$ 개와 일대일 대응합니다.
$n \times n$ 표는 그 중 $n$ 개만 나열한 것이고, $2^n > n$ 이므로 나열되지 않은 행이 반드시 존재합니다 — 대각선을 뒤집은 행이 그 중 하나를 명시적으로 만들어냅니다.
이것이 칸토어 정리의 유한 버전입니다.