군과 체

되돌릴 수 있는 움직임들의 규칙을 표로 확인합니다. 사칙연산이 전부 되는 세계와 비교합니다.

군은 세 가지 약속으로 이루어집니다. 어떻게 묶어도 결과가 같아야 합니다. 아무 일도 안 하는 원소가 있어야 합니다. 모든 움직임에는 되돌리는 움직임이 있어야 합니다. 체는 여기에 나눗셈까지 허용한 세계입니다.

예를 들면, 자전거 페달을 앞으로 돌리는 동작은 뒤로 돌려 되돌릴 수 있습니다. 가만히 있는 것도 하나의 상태입니다. 동작을 이어 붙이면 또 동작이 됩니다. 이 규칙들의 모임이 군입니다.

(a+b)+c=a+(b+c),  ∃ 0,  ∀a ∃(−a)(a+b)+c = a+(b+c),\ \ \exists\,0,\ \ \forall a\,\exists(-a)
a(b+c)=ab+ac,2Z≤Z,  Q≤Ra(b+c) = ab+ac,\qquad 2\mathbb{Z} \le \mathbb{Z},\ \ \mathbb{Q} \le \mathbb{R}

예제

(Z,+)(\mathbb{Z}, +)가 군임을 세 공리로 확인하세요.

0∈Z,a+(−a)=00 \in \mathbb{Z},\qquad a + (-a) = 0
(Z5,×)(\mathbb{Z}_5, \times) 표 — 덧셈군 (Z,+)(\mathbb{Z},+)도 같은 세 공리를 만족합니다.
증명 보기

  1. 닫힘: 두 정수의 합은 정수입니다. 결합법칙은 정수의 덧셈이 이미 만족하므로 그대로 이어받습니다.

  2. 항등원은 0∈Z0 \in \mathbb{Z}이며 a+0=aa + 0 = a입니다.

    aa의 역원은 −a∈Z-a \in \mathbb{Z}이며 a+(−a)=0a + (-a) = 0을 만족합니다.

    여기서는 오른쪽 항등원·오른쪽 역원만 확인했지만, Z\mathbb{Z}에서 덧셈의 교환법칙이 성립하므로 왼쪽 버전 0+a=a0 + a = a와 (−a)+a=0(-a) + a = 0도 자동으로 따라옵니다.

(Z,×)(\mathbb{Z}, \times)가 군이 아님을 증명하세요.

2x=1⇒x=12∉Z2x = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{2} \notin \mathbb{Z}
(Z6,×)(\mathbb{Z}_6, \times) 표 — 22의 역원이 없습니다.
증명 보기

  1. 곱셈에 대한 항등원은 11이어야 합니다 (1⋅a=a1 \cdot a = a이므로).

  2. 22의 역원이 존재하려면 2x=12x = 1인 x∈Zx \in \mathbb{Z}가 있어야 합니다.

    그러나 Z\mathbb{Z} 내부의 논증으로 불가능합니다: 모든 정수 xx에 대해 2x2x는 짝수인데 11은 홀수이므로 등식 2x=12x = 1은 Z\mathbb{Z}에서 해를 가질 수 없습니다 (\mathbb{Q}\)에서 풀면 x=12∉Zx = \frac{1}{2} \notin \mathbb{Z}인 것과 일치합니다).

    따라서 역원 공리가 깨지고 (Z,×)(\mathbb{Z}, \times)는 군이 아닙니다.

모든 체에서 a⋅0=0a \cdot 0 = 0임을 공리로부터 증명하세요.

a⋅0=a⋅(0+0)=a⋅0+a⋅0a \cdot 0 = a \cdot (0 + 0) = a \cdot 0 + a \cdot 0
덧셈군의 소거법칙이 핵심입니다.
증명 보기

  1. 분배법칙에 의해 a⋅0=a⋅(0+0)=a⋅0+a⋅0a \cdot 0 = a \cdot (0 + 0) = a \cdot 0 + a \cdot 0입니다.

  2. b=a⋅0b = a \cdot 0이라 두면 위 식은 b=b+bb = b + b입니다.

    양변에 −b-b를 더합니다 (덧셈 역원이 존재하므로): 왼쪽은 −b+b=0-b + b = 0입니다.

    오른쪽은 결합법칙으로 괄호를 다시 묶어야 합니다: −b+(b+b)=(−b+b)+b=0+b=b-b + (b + b) = (-b + b) + b = 0 + b = b.

    따라서 0=b0 = b, 즉 0=a⋅00 = a \cdot 0을 얻습니다.

2. 수의 체계