전칭·존재 양화사

수직선 위 게임으로 양화사를 익힙니다. 순서를 바꾸면 같은 게임이 어떻게 무너지는지도 봅니다.

먼저 내는 쪽과 나중에 답하는 쪽이 정해져 있습니다. '모든'은 상대가 무엇을 내도 답할 수 있어야 합니다. '존재'는 딱 하나만 찾으면 됩니다. 순서가 바뀌면 명제 자체가 달라집니다. 이 패턴이 엡실론-델타 정의로 그대로 이어집니다.

예를 들면, 반 🧑 친구 누구에게 물어도 그보다 키 큰 사람을 한 명은 댈 수 있습니다. 반대로 모두보다 큰 한 사람은 존재하지 않습니다. 순서 하나에 뜻이 완전히 달라집니다.

예제

개념 확인

점 $a$ 에서의 연속성의 $\varepsilon$ - $\delta$ 정의 — "모든 $\varepsilon > 0$ 에 대해, 모든 $x$ 에 대해 $|x-a| < \delta$ 이면 $|f(x)-f(a)| < \varepsilon$ 인 $\delta > 0$ 이 존재한다" — 를 완전히 부정하세요.

부정된 명제가 $f$ 에 대해 정확히 무엇을 말하는지 풀어서 설명하세요.

\lnot\big(\forall\varepsilon{>}0\ \exists\delta{>}0\ \forall x\,(|x-a|<\delta \to |f(x)-f(a)|<\varepsilon)\big)

\exists\varepsilon{>}0\ \forall\delta{>}0\ \exists x\,(|x-a|<\delta \;\land\; |f(x)-f(a)|\ge\varepsilon)

명제

\varepsilon

\delta

(

\varepsilon = 2.5

\delta = \varepsilon/2 = 1.25

), 부정 사슬 표시: 마지막 단계

\exists\varepsilon{>}0\ \forall\delta{>}0\ \exists t\,(|t| < \delta \land |2t| \ge \varepsilon)

$\exists\varepsilon{>}0\ \exists\delta{>}0\ \exists x\,(|x-a|<\delta \land |f(x)-f(a)|\ge\varepsilon)$
$\exists\varepsilon{>}0\ \forall\delta{>}0\ \exists x\,(|x-a|<\delta \land |f(x)-f(a)|\ge\varepsilon)$
$\exists\varepsilon{>}0\ \forall\delta{>}0\ \exists x\,(|x-a|<\delta \to |f(x)-f(a)|\ge\varepsilon)$
$\forall\varepsilon{>}0\ \forall\delta{>}0\ \exists x\,(|x-a|\ge\delta \land |f(x)-f(a)|<\varepsilon)$

해설 보기

정답: $\exists\varepsilon{>}0\ \forall\delta{>}0\ \exists x\,(|x-a|<\delta \land |f(x)-f(a)|\ge\varepsilon)$

부정은 양화사를 하나씩 뒤집고 ( $\forall$ 는 $\exists$ 로, $\exists$ 는 $\forall$ 로) 마지막 함의를 $\lnot(P \to Q) \equiv P \land \lnot Q$ 로 바꿔 얻습니다. 첫 번째 선택지는 $\delta$ 의 양화사를 뒤집지 않았고, 세 번째는 함의를 그대로 두었으며, 네 번째는 바깥쪽 $\forall\varepsilon$ 를 뒤집지 않고 부등식만 바꿨습니다.

$\forall x \in \mathbb{R}\ \exists y \in \mathbb{R}\ (y > x)$ 를 증명하고 (증인 $y = x+1$ ), $\exists y \in \mathbb{R}\ \forall x \in \mathbb{R}\ (y > x)$ 가 거짓임을 증명하세요.

결론: 양화사의 순서가 의미를 바꾼다.

\forall x\ \exists y\ (y > x)\ \text{is true},\qquad \exists y\ \forall x\ (y > x)\ \text{is false}

명제

\forall x\,\exists y\,(y > x)

(참), 도전값

x = 2

: 증인

y = 3

3 > 2

성립.

증명 보기

첫 번째 명제를 증명합니다. 임의의 $x \in \mathbb{R}$ 가 주어졌다고 하세요. $y = x + 1$ 이라 두면 $y \in \mathbb{R}$ 이고 $y - x = 1 > 0$ , 즉 $y > x$ 입니다.
$x$ 는 임의였으므로 모든 $x$ 에 대해 그런 $y$ 가 존재합니다 — $\forall x\ \exists y\ (y > x)$ 가 참입니다. 씬의 도전값 $x = 2$ 에서는 증인이 $y = 3$ 이고 $3 > 2$ 가 성립합니다.
두 번째 명제를 반증합니다. 어떤 후보 $y_0 \in \mathbb{R}$ 가 주어지든, $x = y_0 + 1$ 이라 두면 $x \in \mathbb{R}$ 이고 $y_0 > x$ 는 $y_0 > y_0 + 1$ , 즉 $0 > 1$ 과 동치라 거짓입니다.
따라서 "모든 $x$ 에 대해 $y_0 > x$ "인 $y_0$ 는 존재하지 않습니다 — $\exists y\ \forall x\ (y > x)$ 는 거짓입니다. 씬에서 후보 $y = 2$ 는 $x' = 3$ 에 무너집니다.
결론: 양화사의 순서가 의미를 완전히 바꿉니다. $\forall x\ \exists y$ 에서는 $y$ 가 $x$ 에 의존해도 되지만 ( $y = x+1$ ), $\exists y\ \forall x$ 에서는 하나의 $y$ 가 모든 $x$ 에 통해야 합니다.
$\varepsilon$ - $\delta$ 정의에서 $\delta$ 가 $\varepsilon$ 에 의존해도 되는 이유가 바로 이 순서입니다.

" $f$ 는 $(0,1]$ 에서 유계" — 즉 $\exists M\ \forall x \in (0,1]\ |f(x)| \le M$ — 를 부정하여 $\forall M\ \exists x \in (0,1]\ |f(x)| > M$ 을 얻은 뒤, 그 형태를 이용해 $f(x) = 1/x$ 가 $(0,1]$ 에서 유계가 아님을 증명하세요.

\lnot\big(\exists M\ \forall x \in (0,1]\ (|f(x)| \le M)\big)\ \equiv\ \forall M\ \exists x \in (0,1]\ (|f(x)| > M)

x = \frac{1}{|M|+2} \in (0,1],\qquad f(x) = |M|+2 > M

명제

\exists y\,\forall x\,(y > x)

(거짓), 부정 사슬 표시: 마지막 단계

\forall y\,\exists x\,(y \le x)

— 유계 부정의 양화사 패턴과 같습니다.

증명 보기

유계의 정의를 부정합니다: $\lnot\big(\exists M\ \forall x \in (0,1]\ (|f(x)| \le M)\big)$ . 부정을 안으로 밀면 $\forall M\ \lnot\big(\forall x \in (0,1]\ (|f(x)| \le M)\big)$ 가 되고, 다시 밀면 $\forall M\ \exists x \in (0,1]\ \lnot(|f(x)| \le M)$ , 즉 $\forall M\ \exists x \in (0,1]\ (|f(x)| > M)$ 입니다.
말로 풀면: "어떤 경계 $M$ 을 제시해도, 그것을 초과하는 점 $x$ 가 존재한다" — 이것이 무계의 정의입니다.
이제 $f(x) = 1/x$ ( $x \in (0,1]$ )에 적용합니다. 임의의 $M \in \mathbb{R}$ 가 주어졌다고 하세요. $x = \frac{1}{|M|+2}$ 라 두면, 분모가 양수이므로 $x > 0$ 이고 $|M|+2 \ge 2$ 이므로 $x \le \frac12 < 1$ — 즉 $x \in (0,1]$ 입니다.
이때 $|f(x)| = f(x) = |M|+2$ 인데, $|M| \ge M$ 이므로 $|M|+2 > M$ 입니다. 따라서 이 $x$ 에서 $|f(x)| > M$ 이 성립합니다.
$M$ 은 임의였으므로, 모든 $M$ 에 대해 $|f(x)| > M$ 인 $x \in (0,1]$ 가 존재합니다 — 곧 $\forall M\ \exists x \in (0,1]\ (|f(x)| > M)$ 이 성립하므로 $f$ 는 $(0,1]$ 에서 유계가 아닙니다. 핵심은 양화사 순서입니다: $M$ 이 먼저 주어지면(∀M) 그에 맞는 $x$ 를 나중에(∃x) 골라도 되기 때문에, $M$ 에 의존하는 선택 $x = 1/(|M|+2)$ 가 허용됩니다.