직접증명

두 유리수의 합을 수직선 위에 놓고 계산을 따라갑니다. 가정에서 결론까지 곧장 이어지는 증명입니다.

직접증명은 출발점에서 곧장 걸어가는 방식입니다. 주어진 것을 그대로 계산하면 결론이 나옵니다. 분수는 통분하면 하나의 분수가 됩니다. 그래서 유리수끼리 더해도 다시 유리수가 됩니다.

예를 들면, 🍰 케이크 4분의 3에서 6분의 5를 덜어 내는 상황입니다. 조각을 12등분으로 맞추면 9조각에서 10조각을 빼는 셈입니다. 돌아가는 길 없이 계산 하나로 끝납니다.

r1+r2=p1q2+p2q1q1q2r_1 + r_2 = \frac{p_1 q_2 + p_2 q_1}{q_1 q_2}
34+−56=−112\frac{3}{4} + \frac{-5}{6} = -\frac{1}{12}

예제

두 유리수의 합이 유리수임을 직접증명으로 증명하고, 이 씬의 기본 수 r1=34r_1 = \frac34, r2=−56r_2 = -\frac56에 각 단계를 그대로 대입하여 합이 −112-\frac{1}{12}임을 단계별로 검증하세요.

r1=p1q1, r2=p2q2  ⇒  r1+r2=p1q2+p2q1q1q2r_1 = \frac{p_1}{q_1},\ r_2 = \frac{p_2}{q_2} \;\Rightarrow\; r_1 + r_2 = \frac{p_1 q_2 + p_2 q_1}{q_1 q_2}
p1=3p_1 = 3, q1=4q_1 = 4, p2=−5p_2 = -5, q2=6q_2 = 6: 분자 18−20=−218 - 20 = -2, 분모 2424, gcd⁡(2,24)=2\gcd(2, 24) = 2, 약분하면 −112≈−0.083333-\frac{1}{12} \approx -0.083333.
증명 보기

  1. 가정을 받아들입니다: r1,r2r_1, r_2가 유리수이므로 정수 p1,q1,p2,q2p_1, q_1, p_2, q_2 (q1≠0q_1 \ne 0, q2≠0q_2 \ne 0)가 존재하여 r1=p1q1r_1 = \frac{p_1}{q_1}, r2=p2q2r_2 = \frac{p_2}{q_2}입니다. 직접증명은 이 가정을 곧바로 계산으로 연결합니다.

  2. 통분합니다: r1+r2=p1q2q1q2+p2q1q1q2=p1q2+p2q1q1q2r_1 + r_2 = \frac{p_1 q_2}{q_1 q_2} + \frac{p_2 q_1}{q_1 q_2} = \frac{p_1 q_2 + p_2 q_1}{q_1 q_2}.

    분자 p1q2+p2q1p_1 q_2 + p_2 q_1은 정수들의 곱과 합의 합이므로 정수이고, 분모 q1q2q_1 q_2는 0이 아닌 정수들의 곱이므로 0이 아닌 정수입니다.

    따라서 r1+r2r_1 + r_2는 정수의 비 — 즉 유리수입니다.

    이것이 결론에 대한 직접증명입니다.

    씬의 수로 확인하면: 3⋅6+(−5)⋅44⋅6=18−2024=−224=−112≈−0.083333\frac{3 \cdot 6 + (-5) \cdot 4}{4 \cdot 6} = \frac{18 - 20}{24} = \frac{-2}{24} = -\frac{1}{12} \approx -0.083333.

    34+−56=−224=−112\frac{3}{4} + \frac{-5}{6} = \frac{-2}{24} = -\frac{1}{12}

두 유리수의 곱이 유리수임을 직접증명으로 증명하세요.

이어서 유리수의 제곱이 유리수임을 증명하고, 씬의 수 r1=34r_1 = \frac34, r2=−56r_2 = -\frac56에 대해 곱이 −58-\frac58임을 검증하세요.

r1r2=p1p2q1q2,r12=p12q12r_1 r_2 = \frac{p_1 p_2}{q_1 q_2}, \qquad r_1^2 = \frac{p_1^2}{q_1^2}
p1=3p_1 = 3, q1=4q_1 = 4, p2=−5p_2 = -5, q2=6q_2 = 6: 곱 −1524=−58=−0.625-\frac{15}{24} = -\frac58 = -0.625.
증명 보기

  1. 가정: r1=p1q1r_1 = \frac{p_1}{q_1}, r2=p2q2r_2 = \frac{p_2}{q_2} (정수, q1,q2≠0q_1, q_2 \ne 0).

    곱셈하면 r1r2=p1p2q1q2r_1 r_2 = \frac{p_1 p_2}{q_1 q_2}.

    분자 p1p2p_1 p_2는 정수이고 분모 q1q2q_1 q_2는 0이 아닌 정수이므로 곱은 유리수입니다.

    씬의 수: 3⋅(−5)4⋅6=−1524=−58=−0.625\frac{3 \cdot (-5)}{4 \cdot 6} = \frac{-15}{24} = -\frac58 = -0.625 (분자·분모를 3으로 약분).

  2. 제곱은 곱의 특수한 경우: r=pqr = \frac{p}{q} (q≠0q \ne 0)이면 r2=p2q2r^2 = \frac{p^2}{q^2}이고, p2p^2는 정수, q2q^2는 양의 정수(따라서 ≠0\ne 0)이므로 r2r^2는 유리수입니다.

    예: r12=(34)2=916r_1^2 = \left(\frac34\right)^2 = \frac{9}{16}.

    두 명제 모두 가정에서 결론으로 곧장 가는 한 번의 계산으로 증명됩니다 — 직접증명의 전형적인 형태입니다.

정수 nn이 홀수이면 n2n^2도 홀수임을 직접증명으로 증명하세요: n=2k+1n = 2k + 1로 쓰고 전개하여 (2k+1)2=4k2+4k+1=2(2k2+2k)+1(2k+1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2(2k^2 + 2k) + 1을 보이세요.

n=2k+1  ⇒  n2=(2k+1)2=4k2+4k+1=2(2k2+2k)+1n = 2k + 1 \;\Rightarrow\; n^2 = (2k+1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2(2k^2 + 2k) + 1
이 문제는 홀수 nn에 대한 대수 증명에 대한 것입니다 — 프리셋은 씬의 유효한 기본 조합 r1=r2=12r_1 = r_2 = \frac12.
증명 보기

  1. 가정: nn은 홀수입니다.

    홀수의 정의에 의해, 어떤 정수 kk가 존재하여 n=2k+1n = 2k + 1입니다.

    이제 계산합니다: n2=(2k+1)2=4k2+4k+1n^2 = (2k+1)^2 = 4k^2 + 4k + 1.

  2. 짝수 부분을 묶습니다: 4k2+4k+1=2(2k2+2k)+14k^2 + 4k + 1 = 2(2k^2 + 2k) + 1.

    여기서 2k2+2k2k^2 + 2k는 정수이므로, n2n^2는 "2 곱하기 정수, 더하기 1" — 즉 홀수입니다.

    가정에서 결론까지 한 번의 전개로 도달했으므로 이것은 직접증명입니다.

    (주목: 이 보조정리는 다음 씬인 대우법 씬이 정확히 소비하는 것입니다 — "n2n^2이 짝수 ⇒\Rightarrow nn이 짝수"의 증명은 대우인 "nn이 홀수 ⇒\Rightarrow n2n^2이 홀수"로 귀결되며, 그 대우의 증명이 바로 이 직접증명입니다.)

1. 증명의 기초