대우법 | Real Analysis

짝수와 홀수 표를 놓고 명제와 대우를 나란히 봅니다. 직접 가는 길이 막힐 때의 우회로를 확인합니다.

정면으로 증명하기 어려운 명제가 있습니다. 그럴 때는 뒤집고 부정한 대우를 증명합니다. 대우는 원래 명제와 참·거짓이 항상 같습니다. 한쪽을 끝내면 다른 쪽도 자동으로 끝납니다.

예를 들면, 어떤 수의 제곱이 짝수이면 그 수도 짝수입니다. 제곱을 직접 보는 대신 홀수인 경우만 살펴봅니다. 홀수를 제곱하면 언제나 홀수가 됩니다. 그래서 제곱이 짝수라면 원래 수는 홀수일 수 없습니다.

예제

정수 $n$ 에 대해 " $n^2$ 이 짝수이면 $n$ 도 짝수이다"를 대우법으로 완전히 증명하세요.

대우인 " $n$ 이 홀수이면 $n^2$ 이 홀수이다"를 홀수 제곱 전개로 증명하는 것으로 귀결시키세요.

n^2 \text{ even} \Rightarrow n \text{ even} \quad\Longleftrightarrow\quad n \text{ odd} \Rightarrow n^2 \text{ odd}

n = 7

(홀수):

n = 2 \cdot 3 + 1

n^2 = 49 = 2 \cdot 24 + 1

— 홀수. 대우의 계산이 직접 보인다.

증명 보기

증명하려는 명제는 $P \Rightarrow Q$ ( $P$ : " $n^2$ 이 짝수", $Q$ : " $n$ 이 짝수")입니다. 함의와 그 대우는 논리적으로 동치이므로(둘 다 $P$ 참· $Q$ 거짓일 때만 거짓), 대우 $\lnot Q \Rightarrow \lnot P$ , 즉 " $n$ 이 홀수이면 $n^2$ 이 홀수이다"를 증명합니다.
대우는 직접증명으로 증명됩니다: $n$ 이 홀수이면 어떤 정수 $k$ 에 대해 $n = 2k + 1$ 이고, $n^2 = (2k+1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2(2k^2 + 2k) + 1$ .
$2k^2 + 2k$ 는 정수이므로 $n^2$ 은 홀수입니다.
씬에서 확인: $n = 7$ 이면 $k = 3$ , $n^2 = 49 = 2 \cdot (2 \cdot 9 + 6) + 1 = 2 \cdot 24 + 1$ .
이로써 대우가 증명되었고, 동치성에 의해 원래 명제 " $n^2$ 이 짝수이면 $n$ 이 짝수"도 증명됩니다.
(직접 시도가 막히는 이유: $n^2 = 2m$ 이라는 가정은 $n$ 에 대한 계산 손잡이를 주지 않습니다 — 대우는 가정을 $n$ 자체의 형태 $2k+1$ 로 바꿔 줍니다.)
$(2k+1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2(2k^2 + 2k) + 1$

정수 $n$ 에 대해 " $3n + 2$ 가 홀수이면 $n$ 도 홀수이다"를 대우법으로 증명하세요.

먼저 직접 경로가 왜 어색한지 — $3n + 2$ 가 홀수이면 $3n$ 이 홀수라는 것만 얻어지고, $n$ 자체에는 손이 닿지 않음을 — 설명하세요.

3n + 2 \text{ odd} \Rightarrow n \text{ odd} \quad\Longleftrightarrow\quad n \text{ even} \Rightarrow 3n + 2 \text{ even}

n = 8

(짝수):

n = 2 \cdot 4

3n + 2 = 26 = 2(3 \cdot 4 + 1) = 2 \cdot 13

— 짝수. 대우의 방향이 보인다.

증명 보기

직접 경로가 어색한 이유: $3n + 2$ 가 홀수라고 가정하면 $3n = (3n + 2) - 2$ 이므로 $3n$ 은 홀수입니다.
하지만 "3 곱하기 $n$ 이 홀수"에서 " $n$ 이 홀수"로 넘어가려면, $n$ 이 짝수일 수 없다는 별도의 논증이 필요합니다 — $n$ 자체를 계산할 형태가 없습니다.
그래서 대우로 돕니다: " $n$ 이 짝수이면 $3n + 2$ 도 짝수이다".
대우를 직접증명합니다: $n$ 이 짝수이면 $n = 2k$ (정수 $k$ )이고, $3n + 2 = 3(2k) + 2 = 6k + 2 = 2(3k + 1)$ .
$3k + 1$ 은 정수이므로 $3n + 2$ 는 짝수입니다.
대우가 증명되었으므로, 동치성에 의해 원래 명제 " $3n + 2$ 가 홀수이면 $n$ 이 홀수"가 증명됩니다.
씬에서 확인: $n = 8 = 2 \cdot 4$ 이면 $3n + 2 = 26 = 2(3 \cdot 4 + 1) = 2 \cdot 13$ , 짝수입니다.

정수 $n$ 에 대해 " $n^2$ 이 3으로 나누어떨어지면 $n$ 도 3으로 나누어떨어진다"를 증명하세요.

대우를 취한 뒤, 3으로 나누어떨어지지 않는 경우를 $n = 3k + 1$ 과 $n = 3k + 2$ 로 나누어 각각 $n^2$ 도 3으로 나누어떨어지지 않음을 보이세요.

n = 3k+1 \Rightarrow n^2 = 3(3k^2 + 2k) + 1, \qquad n = 3k+2 \Rightarrow n^2 = 3(3k^2 + 4k + 1) + 1

n = 9

n^2 = 81 = 3 \cdot 27

— 3으로 나누어떨어지고,

n = 9 = 3 \cdot 3

도 그렇다. 명제 형태 그대로의 확인.

증명 보기

대우를 증명합니다: "3이 $n$ 을 나누지 않으면 3은 $n^2$ 도 나누지 않는다".
나눗셈 정리에 의해, 3이 $n$ 을 나누지 않으면 나머지가 1 또는 2이므로 어떤 정수 $k$ 에 대해 $n = 3k + 1$ 또는 $n = 3k + 2$ 입니다.
두 경우를 각각 계산합니다.
경우 1: $n = 3k + 1$ 이면 $n^2 = 9k^2 + 6k + 1 = 3(3k^2 + 2k) + 1$ — 3으로 나눈 나머지가 1이므로 3은 $n^2$ 를 나누지 않습니다.
경우 2: $n = 3k + 2$ 이면 $n^2 = 9k^2 + 12k + 4 = 3(3k^2 + 4k + 1) + 1$ — 역시 나머지가 1이므로 3은 $n^2$ 를 나누지 않습니다.
두 경우 모두 대우의 결론을 주므로 대우가 증명되고, 동치성에 의해 원래 명제가 증명됩니다.
씬에서 확인: $n = 9 = 3 \cdot 3$ 은 3으로 나누어떨어지고 $n^2 = 81 = 3 \cdot 27$ 도 그렇습니다.