명제와 진리표 | Real Analysis

연결사를 바꿀 때마다 진리표의 새 열이 채워집니다. 네 가지 경우를 나란히 비교해 봅니다.

핵심은 열이 같으면 뜻도 같다는 것입니다. 참인 행과 거짓인 행이 완전히 겹치면 두 문장은 같은 말입니다. 명제와 그 대우는 언제나 열이 같습니다. 뒤집은 역은 그렇지 않습니다.

예를 들면, '비가 오면 땅이 젖는다'와 '땅이 안 젖었으면 비가 안 온 것이다'는 같은 말입니다. 반대로 '땅이 젖었으면 비가 왔다'는 틀릴 수 있습니다. 호스로 물을 뿌려도 땅은 젖으니까요.

예제

진리표를 이용해 $P \to Q$ 가 그 대우 $\lnot Q \to \lnot P$ 와 논리적으로 동치임을 완전히 증명하세요.

네 행을 모두 직접 계산하고, 왜 모든 행에서 진릿값이 일치하면 논리적 동치인지 설명하세요.

(P \to Q) \;\equiv\; (\lnot Q \to \lnot P)

연결사 함의, 대우 열 표시:

P \to Q

열과

\lnot Q \to \lnot P

열이 4개 행에서 모두 일치하고, 역

Q \to P

열은

(T, F)

행에서 다릅니다.

증명 보기

$P \to Q$ 는 정의상 $\lnot P \lor Q$ 와 같습니다.
네 행을 직접 계산합니다.
$(P, Q) = (T, T)$ : $P \to Q = T$ , 대우 $(\lnot Q) \to (\lnot P) = F \to F = T$ .
$(T, F)$ : $P \to Q = T \to F = F$ , 대우 $T \to F = F$ .
$(P, Q) = (F, T)$ : $P \to Q = F \to T = T$ (전건이 거짓이면 함의는 참), 대우 $F \to T = T$ .
$(F, F)$ : $P \to Q = F \to F = T$ , 대우 $T \to T = T$ .
따라서 네 행의 진릿값 쌍은 $(T,T), (F,F), (T,T), (T,T)$ — 두 열이 행마다 완전히 일치합니다.
모든 행에서 진릿값이 일치한다는 것은, $P$ 와 $Q$ 에 어떤 진릿값을 대입해도 두 명제가 같은 값을 가진다는 뜻입니다.
"언제 참인가"에 대한 답이 가능한 모든 경우에서 똑같으므로, 두 명제는 논리적으로 동치입니다.
이것이 대우 증명법의 정당화입니다: $P \to Q$ 대신 동치인 $\lnot Q \to \lnot P$ 를 증명해도 됩니다.

진리표로 드모르간 법칙 $\lnot(P \land Q) \iff (\lnot P) \lor (\lnot Q)$ 를 증명하세요.

네 행에서 양변의 진릿값을 모두 계산하고, 어느 행에서 $\land$ 가 $F$ 가 되는지 관찰하세요.

\lnot(P \land Q) \;\iff\; (\lnot P) \lor (\lnot Q)

연결사 논리곱, 대우 열 표시:

P \land Q

열에서

T

인 행은

(T, T)

하나뿐이며, 그 행에서만

\lnot(P \land Q)

와

(\lnot P) \lor (\lnot Q)

가 함께

F

가 됩니다.

증명 보기

먼저 $P \land Q$ 열: $(T,T) \to T$ , $(T,F) \to F$ , $(F,T) \to F$ , $(F,F) \to F$ — $T$ 는 $(T,T)$ 행 하나뿐입니다. 따라서 좌변 $\lnot(P \land Q)$ 의 열은 $(F, T, T, T)$ 순서가 됩니다.
우변 $(\lnot P) \lor (\lnot Q)$ 를 행마다 계산합니다.
$(T,T)$ : $F \lor F = F$ .
$(T,F)$ : $F \lor T = T$ .
$(F,T)$ : $T \lor F = T$ .
$(F,F)$ : $T \lor T = T$ .
즉 우변의 열도 $(F, T, T, T)$ — 좌변과 행마다 일치합니다.
두 열이 모든 행에서 일치하므로 $\lnot(P \land Q)$ 와 $(\lnot P) \lor (\lnot Q)$ 는 논리적으로 동치입니다.
관찰: $P \land Q$ 가 $F$ 가 되는 세 행 — 곧 $P$ 와 $Q$ 중 적어도 하나가 거짓인 행 — 에서 정확히 우변도 $T$ 가 됩니다.
"둘 다 참이 아니다"와 "적어도 하나가 거짓이다"는 같은 말입니다.

$P \to Q$ 가 그 역 $Q \to P$ 와 동치가 아님을 보이세요.

두 값이 갈라지는 행 $(P, Q) = (T, F)$ 를 직접 제시하고, 대신 성립하는 동치 $P \to Q \iff \lnot P \lor Q$ 를 진리표로 증명하세요.

(P \to Q) \;\not\equiv\; (Q \to P), \qquad (P \to Q) \;\equiv\; (\lnot P \lor Q)

연결사 함의, 대우 열 숨김:

P \to Q

열

(T, F, T, T)

와 역

Q \to P

열

(T, T, F, T)

가

(T, F)

행에서

F

대

T

로 갈라집니다.

증명 보기

$(P, Q) = (T, F)$ 행을 봅니다.
$P \to Q = T \to F = F$ 인 반면, 역 $Q \to P = F \to T = T$ 입니다.
한 행에서라도 진릿값이 다르면 논리적 동치가 아니므로, $P \to Q$ 와 $Q \to P$ 는 동치가 아닙니다.
직관적으로도: " $x$ 가 소수이면 $x$ 는 홀수이거나 $2$ 이다"는 참이지만, 그 역은 거짓입니다.
대신 $P \to Q \iff \lnot P \lor Q$ 를 증명합니다 — 이것이 함의의 정의이기도 합니다.
$\lnot P \lor Q$ 의 열을 계산하면: $(T,T)$ : $F \lor T = T$ ; $(T,F)$ : $F \lor F = F$ ; $(F,T)$ : $T \lor T = T$ ; $(F,F)$ : $T \lor F = T$ .
즉 $(T, F, T, T)$ — $P \to Q$ 열과 행마다 일치합니다.
따라서 $P \to Q$ 는 $\lnot P \lor Q$ 와 동치입니다.
이 형태는 부정의 이동을 쉽게 만듭니다: $\lnot(P \to Q) \equiv \lnot(\lnot P \lor Q) \equiv P \land \lnot Q$ (드모르간).
즉 함의가 거짓이 되는 경우는 정확히 한 가지 — 전건은 참인데 후건이 거짓인 $(T, F)$ 행뿐입니다.