칸토어 함수

삼진 전개는 $k/3^m$ 꼴의 점을 제외하면 유일하고, 그 점들은 정확히 두 개의 전개를 갖는다: 끝나는 전개 $0.c_1\ldots c_{m-1}1$과 $2$가 반복되는 전개 $0.c_1\ldots c_{m-1}0222\ldots_3$.

$k < m$인 $k$ 중 $c_k = 1$인 것이 있으면 두 전개 모두 첫 번째 $1$을 같은 자리에서 보므로 $b$ 수열이 일치한다.

그런 $k$가 없으면, 끝나는 전개는 $N = m$에서 $b_m = 1$을 주고, $2$-반복 전개는 $1$이 전혀 없으므로 $b_m = 0$, $k > m$에서 $b_k = 1$을 준다 — 그런데 $\sum_{k>m} 2^{-k} = 2^{-m}$이므로 합은 같다. 예: $0.0222\ldots_3$은 $N = \infty$이라 $b = 0.0111\ldots_2 = 1/2$이고, $0.1_3$은 $N = 1$이라 $b_1 = 1$로 $f = 1/2$이다.

따라서 $f$는 잘 정의된다.

$f$는 단조증가이다.

$x < y$라 하고 (선택한) 삼진 전개를 봅니다.

처음으로 어느 한쪽에 숫자 $1$이 나타나거나 두 전개가 달라지는 자리를 $k$라 두자 ($x \ne y$이므로 이런 자리는 존재합니다).

앞 $k-1$자리는 공통이고 $1$이 없으므로 $\{0,2\}$에서 오며, 그 공통 기여를 $S = \sum_{i<k}(c_i/2)2^{-i}$라 쓰자.

자리 $k$에서의 쌍 $(c_k(x),\, c_k(y))$는 $(1,1)$, $(0,1)$, $(0,2)$, $(1,2)$ 중 하나입니다.

$(1,1)$인 경우: 양쪽 모두 첫 $1$이 $k$에서 나오므로 $f(x) = f(y) = S + 2^{-k}$입니다 (예: $x = 0.1000\ldots_3$, $y = 0.1200\ldots_3$이면 $k = 1$이고 $f(x) = f(y) = 1/2$).

$(0,1)$인 경우: $x$는 $b_k = 0$이고 꼬리가 $\sum_{i>k} 2^{-i} = 2^{-k}$ 이하이므로 $f(x) \le S + 2^{-k}$이고, $y$는 $k$에서 첫 $1$이 나오므로 $f(y) = S + 2^{-k}$입니다.

$(0,2)$인 경우: $f(x) \le S + 2^{-k}$이고 $y$는 $b_k = 1$, 꼬리 $\ge 0$이므로 $f(y) \ge S + 2^{-k}$입니다.

$(1,2)$인 경우: $f(x) = S + 2^{-k}$이고 $f(y) \ge S + 2^{-k}$입니다.

모든 경우에 $f(x) \le f(y)$이고, 끝점의 모호성은 이미 잘 정의성에서 해소되었습니다.

$f$는 연속이다.

$n$단 삼진 구간의 각 닫힌 구간 $I$ 위에서는 $f$의 변동이 $2^{-n}$ 이하이다: $n$자리 안에 $1$이 있으면 꼬리가 0이라 $f$가 $I$ 위에서 정확히 상수이고, 없으면 $f = \sum_{k\le n}(c_k/2)2^{-k} + \text{꼬리}$ (꼬리는 $0$과 $2^{-n}$ 사이)이다.

끝점 $k/3^n$에서 $f$를 선형 보간한 연속함수 $f_n$을 두면, $n$단 구간 $[l,r]$ 위의 모든 $x$에 대해 $f(x)$와 $f_n(x)$는 모두 $[f(l),\,f(r)]$ 안에 들고(단조성), 그 구간의 길이는 $2^{-n}$ 이하이다.

따라서 $f_n \to f$ 균등수렴하고, 연속함수의 균등극한은 연속이므로 $f$는 $[0,1]$에서 연속이다.

참고로 $f(0) = 0$, $f(1) = 1$이다 ($1 = 0.222\ldots_3$).

칸토어 집합의 여집합은 제거된 열린 가운데 삼등분 구간들의 서로소 합집합이다.

단계 $m$에서 제거되는 각 구간은 $(a,b)$ 꼴이며, $a = 0.c_1\ldots c_{m-1}1_3$ (끝나는 전개), $b = 0.c_1\ldots c_{m-1}2_3$이고 $c_1,\ldots,c_{m-1}$ 중에는 $1$이 없다.

$x \in (a,b)$라 하자.

$x > a$이므로 $m$번째 삼진 자리수는 $0$일 수 없고 ($0$이면 $x \le 0.c_1\ldots c_{m-1}0222\ldots_3 = a$가 된다), $x < b$이므로 $2$일 수도 없다 ($2$이면 $x \ge 0.c_1\ldots c_{m-1}2000\ldots_3 = b$가 된다).

따라서 $c_m(x) = 1$이고, 그 앞에 $1$이 없으므로 $N(x) = m$이다.

즉 $f(x) = \sum_{k<m}(c_k/2)2^{-k} + 2^{-m}$으로 $x$와 무관한 상수이다 — $f$는 모든 여집합 구간 위에서 상수이다.

수치 예: $(1/9,\,2/9)$ 위에서는 $f \equiv 1/4$, $(1/3,\,2/3)$ 위에서는 $f \equiv 1/2$이다.

열린 구간 위에서 상수인 함수는 그 구간의 모든 점에서 도함수가 $0$이다 (차분몫이 항등적으로 $0$이므로). 따라서 여집합의 모든 점 $x$에서 $f'(x) = 0$이다 — 계단은 "거의 모든 곳에서" 평평하다.

여집합의 전체 길이는 단계 $m$에서 제거되는 $2^{m-1}$개의 길이 $3^{-m}$ 구간들을 합한 것으로, $\sum_{m\ge 1} 2^{m-1}3^{-m} = \frac13\sum_{m\ge 1}(2/3)^{m-1} = \frac13\cdot\frac{1}{1-2/3} = 1$이다. 즉 $f' = 0$인 점들의 집합은 길이가 $1$이다 — 계단은 길이가 $0$인 칸토어 집합 위에서만 오르면서 전체 $1$만큼 상승한다.

문제 1에서 $f$는 $[0,1]$에서 연속이고 $f(0) = 0$, $f(1) = 1$이므로 $f(1) - f(0) = 1$이다.

한편 문제 2가 주는 것은 칸토어 집합의 여집합 위에서 $f' = 0$이라는 것뿐입니다.

그러나 여집합의 길이가 $1$이고 칸토어 집합 $C$의 측도는 $0$이므로, $f' = 0$ a.e.입니다 ($C$ 위에서의 값은 a.e. 진술에 영향을 주지 않습니다).

단조함수는 거의 모든 곳에서 미분가능하다는 르베그 정리와 합치면, (르베그) 적분 $\int_0^1 f' = 0$입니다.

절대연속인 함수는 $f' = 0$ a.e.이면 상수여야 하므로, 이는 아래 모순의 핵심입니다.

$f$가 절대연속이었다면 미적분학 기본정리에 의해 $f(1) - f(0) = \int_0^1 f'$이어야 한다.

그러나 $1 \neq 0$이므로 모순이다.

따라서 $f$는 절대연속이 아니다 — 연속이고 거의 모든 곳에서 미분가능해도 기본정리가 성립하지 않는다.

"거의 모든 곳에서 미분가능"은 적분으로 함수를 복원하기에 충분하지 않고, 절대연속성이 정확한 가설이다.

직접 확인도 된다.

절대연속이란: 모든 $\varepsilon > 0$에 대해, 서로소인 유한 구간족의 길이 합이 $\delta$보다 작으면 $|f|$-증가분 합도 $\varepsilon$보다 작게 만드는 $\delta > 0$이 존재한다는 뜻이다.

$\varepsilon = 1/2$를 잡자.

$C_n$의 $2^n$개 구간은 길이 합이 $(2/3)^n \to 0$이므로 $n$이 크면 어떤 $\delta$보다도 작아진다.

그러나 $f$는 그 사이의 틈에서는 상수이고 단조증가이므로 $\sum_i (f(r_i) - f(l_i)) = f(1) - f(0) = 1 \ge \varepsilon$이다 — 모든 $\delta$가 실패한다.

칸토어 집합은 길이는 $0$에 가까워도 $f$-값으로는 $[0,1]$ 전체를 덮는다 ($f$는 $C$를 $[0,1]$ 위로 올린다).