5. 위상

열린집합·콤팩트·완비성 — 실직선의 위상적 구조와 베어 범주 정리, 칸토어 집합을 다룹니다.

• 열린집합과 닫힌집합 — 열린집합이 무엇인지 확인하는 씬입니다. 점과 반지름을 움직이며, 작은 공이 집합 안에 쏙 들어가는지 봅니다. 열려 있다는 것은 경계에 붙은 점이 없다는 뜻입니다. 어느 점을 골라도, 그 점 둘레에 집합 안에 들어가는 작은 구간이 있습니다. 경계에 붙은 점에서는 아무리 작은 구간도 밖으로 삐져나갑니다. 예를 들면, 마당 한가운데서 ⚽ 공을 차 보세요. 조금 세게 차도 공은 아직 마당 안입니다. 담장 바로 앞에서 차면, 한 번에 밖으로 나갑니다. 가운데 점과 경계 점의 차이가 그렇습니다.
• Clopen 집합 — 열려 있으면서 닫혀 있는 집합, clopen을 보는 씬입니다. 같은 집합도 어떤 공간 안에 있느냐에 따라 운명이 달라집니다. 실수 전체에서는 빈 집합과 전체뿐입니다. 어딘가에 경계가 생기기 때문입니다. 그런데 공간이 두 조각으로 갈라져 있으면, 한 조각은 경계에 닿지 않습니다. 그 조각은 열려 있으면서 닫혀 있습니다. 예를 들면, 멀리 떨어진 🏠 집 두 채 중 한 채만 보세요. 그 집만으로 이루어진 세상에서는, 그 집이 독립된 구역이 됩니다. 열려 있기도 하고 닫혀 있기도 한 것입니다.
• 연결집합 — 연결집합을 보는 씬입니다. 집합을 서로 닿지 않는 두 열린 조각으로 가를 수 있는지, 절단점을 움직이며 확인합니다. 갈라지지 않는 집합이 연결집합입니다. 구간은 어디를 잘라도 잘린 점이 어느 쪽에도 붙지 않아 갈라지지 않습니다. 멀리 떨어진 두 조각이나, 유리수처럼 틈이 촘촘한 집합은 그 틈에 절단을 넣으면 깔끔하게 갈라집니다. 예를 들면, 🧩 퍼즐 한 판을 보세요. 조각들이 서로 맞물려 있으면 한 판 그대로입니다. 두 무더기로 완전히 떨어져 있으면, 이미 갈라진 것입니다.
• 폐포와 유계 — 집합의 폐포를 보는 씬입니다. 빠져나간 극한점을 모두 붙이면 어떻게 닫히는지 확인합니다. 폐포는 집합이 닿으려던 점까지 품은 것입니다. 아무리 가까이 가도 닿지 않던 점이 있으면, 그 점을 붙여야 닫힙니다. 이미 모든 극한점을 품은 집합은 자기 폐포와 같습니다. 여기에 유계까지 더해지면 컴팩트와 이어집니다. 예를 들면, 📦 상자에 물건을 넣고 뚜껑을 닫아 보세요. 뚜껑까지 닫아야 상자가 완성됩니다. 폐포는 집합에 그 뚜껑에 해당하는 경계점을 붙이는 일입니다.
• 컴팩트 집합 — 컴팩트 집합을 열린 커버로 확인하는 씬입니다. 구간을 덮는 조각들 중 유한 개만으로 충분한지 봅니다. 컴팩트는 닫힘과 유계의 짝입니다. 끝이 열려 있으면 그 틈 근처에서 조각이 끝없이 필요합니다. 끝없이 뻗어 있어도 마찬가지입니다. 두 조건이 갖춰지면, 어떤 덮개든 유한 개로 줄일 수 있습니다. 예를 들면, 📚 책으로 책상 위를 빈틈없이 덮어 보세요. 책상이 유한한 크기라 책 몇 권이면 충분합니다. 끝없이 긴 책상이라면, 책이 아무리 많아도 모자랍니다.
• 위상수학자의 사인 곡선 — 위상수학자의 사인 곡선을 보는 씬입니다. 0 근처에서 끝없이 진동하는 곡선과, 거기에 붙는 극한 선분을 확인합니다. 곡선은 0에 다가갈수록 더 빠르게 흔들립니다. 그래서 반대쪽 축 위의 선분 전체가 곡선에 붙습니다. 붙은 도형은 하나로 이어져 있습니다. 하지만 선분에서 곡선으로 걸어가는 길은 없습니다. 이어져 있는 것과 길이 있는 것은 다릅니다. 예를 들면, 🧵 줄 한쪽 끝을 점점 빠르게 흔들어 보세요. 흔들리는 끝은 흐릿한 띠처럼 보입니다. 띠는 눈에 보여도, 띠의 한 점에서 줄의 특정 부분으로 걸어갈 수는 없습니다.
• 페아노 곡선 — 선 하나로 정사각형을 채우는 페아노 곡선을 보는 씬입니다. 근사 곡선이 단계마다 더 촘촘해지는 모습을 확인합니다. 곡선은 뱀처럼 접히며 빈틈을 메웁니다. 접는 횟수가 늘수록 곡선이 닿는 곳이 늘어납니다. 극한에서는 정사각형의 모든 점을 지납니다. 다만 같은 점을 두 번 지날 수밖에 없습니다. 그래서 단사인 채움은 불가능합니다. 예를 들면, ✏️ 연필을 떼지 않고 도화지 전체를 칠해 보세요. 지그재그로 촘촘히 오가면, 결국 모든 점에 연필이 닿습니다. 선 하나로 면 전체를 채우는 셈입니다.
• 거리공간 — 거리공간의 씬입니다. 거리를 공리로 세우면 공의 모양이 거리에 따라 어떻게 달라지는지 비교합니다. 거리는 세 가지 규칙만 지키면 됩니다. 거리는 음수가 되지 않습니다. 양방향 거리는 같습니다. 돌아가는 길은 지름길보다 짧지 않습니다. 규칙은 같아도 재는 법이 다르면, 같은 반지름의 공도 모양이 달라집니다. 예를 들면, 📏 자로 두 점 사이를 재는 법을 바꿔 보세요. 곧바로 재면 원이 됩니다. 가로세로로만 재면 마름모가 됩니다. 반지름이 같아도 닿는 범위의 모양은 달라집니다.
• 축소사상 원리 — 축소사상 원리를 확인하는 씬입니다. 반복할수록 점들이 하나의 고정점으로 조여드는 모습을 봅니다. 축소사상은 모든 거리를 일정 비율로 줄입니다. 반복하면 점들이 서로에게 끌려갑니다. 시작점이 어디든 도착지는 하나입니다. 그런데 공간에 구멍이 있으면, 도착지가 그 구멍으로 빠질 수 있습니다. 예를 들면, 🗺️ 지도를 반으로 접고, 또 반으로 접어 보세요. 접을 때마다 종이는 작아지고 모든 점은 한 점으로 모입니다. 그 점이 고정점입니다. 종이 한가운데가 찢겨 있으면, 모여야 할 점이 사라집니다.
• 베어 카테고리 정리 — 베어 범주 정리를 중첩 구간으로 따라가는 씬입니다. 유리수를 하나씩 피해 가면서도 남는 점이 있음을 확인합니다. 구멍 많은 집합은 전체를 덮지 못합니다. 닫힌 구간을 점점 작게 골라도, 피할 점을 피해 갈 수 있습니다. 구간이 한 점으로 조여들면, 그 점은 어떤 구멍 집합에도 속하지 않습니다. 완비한 공간에는 늘 그런 점이 남습니다. 예를 들면, 📦 상자 안에 작은 상자를 넣고, 그 안에 더 작은 상자를 넣어 보세요. 아무리 작아져도 맨 안쪽에는 공간이 남습니다. 유리수를 피해 가며 상자를 골라도, 끝까지 남는 점이 있습니다.
• 베어 1급 함수 — 베어 1급 함수를 보는 씬입니다. 연속함수들의 점별 극한으로 토매 함수를 쌓아 올립니다. 연속함수만 쌓아도 끊기는 함수가 나올 수 있습니다. 그래도 아무 데서나 끊기지는 않습니다. 연속인 점이 반드시 촘촘히 있습니다. 극한으로 만든 함수도 나름의 규칙을 지키는 셈입니다. 예를 들면, 🧵 줄을 구부려 점점 뾰족한 산 모양을 만들어 보세요. 매 단계의 줄은 끊기지 않았습니다. 그런데 다 구부린 끝에는, 가시처럼 뾰족한 점들이 줄줄이 남습니다.
• 칸토어 집합 — 칸토어 집합을 만드는 씬입니다. 가운데 3분의 1을 계속 지우면, 길이는 0이 되지만 점은 셀 수 없이 많이 남습니다. 지울 때마다 전체 길이는 3분의 2로 줄어듭니다. 끝없이 지우면 길이는 0이 됩니다. 그런데 한 번도 잘리지 않는 점이 있습니다. 그런 점이 실수만큼이나 많습니다. 예를 들면, 🍰 케이크의 가운데 3분의 1을 덜어 내 보세요. 남은 조각마다 또 가운데를 덜어 냅니다. 케이크는 거의 사라집니다. 그래도 한 번도 잘리지 않은 자리는 셀 수 없이 많이 남습니다.
• 팻 칸토어 집합 — 팻 칸토어 집합을 보는 씬입니다. 가운데를 조금씩만 파내면, 길이가 절반이나 남는 집합이 됩니다. 파내는 양을 줄이면 사정은 달라집니다. 남는 집합은 여전히 구멍이 촘촘하고 내부가 비어 있습니다. 그런데 길이는 절반으로 수렴합니다. 길이라는 크기와 위상적인 크기는 서로 독립입니다. 예를 들면, 🍰 케이크를 파내되 이번에는 조금씩만 파 보세요. 구멍은 곳곳에 나지만, 먹을 부분은 절반이나 남습니다. 텅 빈 듯 보여도 양은 남아 있는 셈입니다.
• 칸토어 함수 — 칸토어 함수, 악마의 계단을 보는 씬입니다. 연속이고 계속 오르는데, 거의 모든 구간에서 평평합니다. 이 함수는 칸토어 집합의 틈마다 멈춰 섭니다. 그래서 거의 모든 점에서 기울기가 0입니다. 그런데도 전체로는 0에서 1까지 오릅니다. 오른 양과 기울기의 합이 어긋나는, 이상한 함수입니다. 예를 들면, 🪜 계단을 오르는데 평평한 계단참이 끝없이 긴 계단입니다. 거의 모든 시간을 쉬면서 가지만, 그래도 꼭대기에는 닿습니다. 칸토어 함수가 딱 그렇습니다.