Clopen 집합 | Real Analysis

열려 있으면서 닫혀 있는 집합, clopen을 보는 씬입니다. 같은 집합도 어떤 공간 안에 있느냐에 따라 운명이 달라집니다.

실수 전체에서는 빈 집합과 전체뿐입니다. 어딘가에 경계가 생기기 때문입니다. 그런데 공간이 두 조각으로 갈라져 있으면, 한 조각은 경계에 닿지 않습니다. 그 조각은 열려 있으면서 닫혀 있습니다.

예를 들면, 멀리 떨어진 🏠 집 두 채 중 한 채만 보세요. 그 집만으로 이루어진 세상에서는, 그 집이 독립된 구역이 됩니다. 열려 있기도 하고 닫혀 있기도 한 것입니다.

예제

$\mathbb{R}$ 의 부분집합 $A$ 가 열린 집합이자 닫힌 집합(clopen)이고 $\emptyset \ne A \ne \mathbb{R}$ 이라고 가정하세요.

모순을 이끌어내어, $\mathbb{R}$ 의 clopen 집합은 $\emptyset$ 와 $\mathbb{R}$ 뿐임을 완전히 증명하세요.

\text{clopen in } \mathbb{R} \implies A = \emptyset \text{ or } A = \mathbb{R}

X = \mathbb{R}

A = (0,1)

: 열려 있지만 닫혀 있지 않습니다 —

\mathbb{R}

에서는 nontrivial clopen이 존재하지 않습니다.

증명 보기

$A$ 가 clopen이면 여집합 $A^c$ 도 clopen입니다: $A$ 가 열려 있으면 $A^c$ 는 닫혀 있고, $A$ 가 닫혀 있으면 $A^c$ 는 열려 있기 때문입니다. $A \ne \emptyset$ 이므로 $A^c \ne \mathbb{R}$ … 정확히는 $A \ne \mathbb{R}$ 이므로 $A^c \ne \emptyset$ 이고, $A \ne \emptyset$ 이므로 $A$ 자체도 비어 있지 않습니다.
따라서 $\mathbb{R} = A \cup A^c$ 는 서로소인 두 비어 있지 않은 열린 집합으로의 분해 — 즉 $\mathbb{R}$ 의 분리(separation)입니다.
이제 $\mathbb{R}$ 이 연결집합임을 보입니다.
$\mathbb{R} = U \cup V$ 가 서로소인 비어 있지 않은 열린 집합으로의 분해라고 가정하고, $a \in U$ , $b \in V$ 를 잡습니다 (필요하면 이름을 바꿔 $a < b$ ).
$c = \sup(U \cap [a,b])$ 라 둡니다 ( $a$ 를 포함하므로 비어 있지 않고, $b$ 가 상계).
$U$ 는 열려 있을 뿐 아니라 $U = \mathbb{R} \setminus V$ 이므로 닫혀 있기도 합니다.
$c$ 는 $U \cap [a,b]$ 의 폐포에 속하므로 $c \in \overline{U} = U$ 입니다.
$c \le b$ 이고, $b \in V$ 이며 서로소이므로 $c \ne b$ , 즉 $c < b$ 입니다.
$U$ 가 열려 있으므로 어떤 $\varepsilon > 0$ 에 대해 $(c-\varepsilon, c+\varepsilon) \subseteq U$ 입니다.
여기서 $\delta = \min(\varepsilon/2, (b-c)/2) > 0$ 으로 줄이면 ( $c < b$ 이므로), $c + \delta \in [a,b]$ 이면서 $c$ 보다 크고 $c + \delta \in U$ 이므로 $U \cap [a,b]$ 에 속해야 합니다 — $c = \sup$ 에 모순됩니다.
따라서 $\mathbb{R}$ 의 분리는 존재하지 않습니다.
이는 2단계의 분리와 모순되므로, 가정한 nontrivial clopen 집합 $A$ 는 존재하지 않습니다.
즉 $\mathbb{R}$ 의 clopen 집합은 $\emptyset$ 와 $\mathbb{R}$ 뿐입니다.
씬의 $A = (0,1)$ 은 열려 있지만 닫혀 있지 않아서 이 정리를 피합니다 — 닫혀 있게 하려면 빠진 극한점 $0, 1$ 을 넣어야 하고, 그러면 열린 쪽이 깨집니다.

부분공간 $X = [0,1] \cup [2,3] \subseteq \mathbb{R}$ 와 $A = [0,1]$ 에 대해, $A$ 가 $X$ 에서는 clopen이지만 $\mathbb{R}$ 에서는 열려 있지 않음을 완전히 증명하세요.

[0,1] = X \cap (-1/2,\, 3/2) = X \cap [-1/2,\, 3/2]

x = 1

\varepsilon = 0.5

: 경계점

1

에서도

(1-0.5, 1+0.5) \cap X = (0.5, 1] \subseteq A

이므로

X

기준으로 공이

A

안에 머뭅니다 —

X

에서의 열림이 보입니다.

증명 보기

$X$ 에서 열림: $[0,1] = X \cap (-1/2,\, 3/2)$ 임을 확인합니다.
$\subseteq$ 는 자명하고, 역으로 $X \cap (-1/2,\, 3/2)$ 의 점은 $[0,1]$ 에 있거나 $[2,3] \cap (-1/2,\, 3/2)$ 에 있어야 하는데 후자는 비어 있으므로 $[0,1]$ 에 속합니다.
$(-1/2,\, 3/2)$ 는 $\mathbb{R}$ 에서 열려 있으므로, $[0,1]$ 은 $X$ 에서 열려 있습니다.
$X$ 에서 닫힘: 같은 논증으로 $[0,1] = X \cap [-1/2,\, 3/2]$ 입니다 ( $[2,3] \cap [-1/2,\, 3/2] = \emptyset$ ).
$[-1/2,\, 3/2]$ 는 $\mathbb{R}$ 에서 닫혀 있으므로 $[0,1]$ 은 $X$ 에서 닫혀 있습니다.
따라서 $[0,1]$ 은 $X$ 의 clopen 집합입니다.
$\mathbb{R}$ 에서는 열려 있지 않음: $1 \in [0,1]$ 이지만, 모든 $\varepsilon > 0$ 에 대해 공 $(1-\varepsilon, 1+\varepsilon)$ 은 $1 + \varepsilon/2 \notin [0,1]$ 을 포함합니다. 따라서 같은 집합 $[0,1]$ 이 $X$ 에서는 clopen이면서 $\mathbb{R}$ 에서는 (닫혀 있기만 하고) 열려 있지 않습니다 — clopen은 ambient에 상대적인 개념입니다.

$X$ 를 위상공간, $A \subseteq X$ 를 clopen 집합이라 하세요.

$\emptyset \ne A \ne X$ 이면 $X$ 는 연결집합이 아님을 완전히 증명하세요.

X = A \cup A^c, \qquad A \cap A^c = \emptyset, \qquad A,\, A^c \ne \emptyset \text{ open in } X

X = (0,1) \cup (1,2)

A = (0,1)

X = A \cup A^c

는 서로소인 비어 있지 않은 열린 집합으로의 분해 —

X

가 연결집합이 아님을 보여줍니다.

증명 보기

$A$ 가 clopen이면 여집합 $A^c = X \setminus A$ 도 clopen입니다: 여집합을 취하면 열림과 닫힘이 뒤바뀌기 때문입니다 ( $A$ 가 열려 있으면 $A^c$ 는 닫혀 있고, $A$ 가 닫혀 있으면 $A^c$ 는 열려 있습니다).
$\emptyset \ne A \ne X$ 이므로 $A$ 와 $A^c$ 는 모두 비어 있지 않습니다.
또한 $X = A \cup A^c$ , $A \cap A^c = \emptyset$ 이며, 둘 다 $X$ 에서 열려 있습니다 — 즉 $X$ 의 분리(separation)입니다.
따라서 $X$ 는 연결집합이 아닙니다.
역도 성립합니다: $X = U \cup V$ 가 분리이면 $U = X \setminus V$ 는 닫혀 있기도 하므로 clopen입니다.
즉 "nontrivial clopen 집합이 존재한다"는 "연결집합이 아니다"와 동치입니다.
위 문제 1은 $X = \mathbb{R}$ 인 특별한 경우입니다 — $\mathbb{R}$ 이 연결집합이므로 nontrivial clopen이 있을 수 없습니다.