연결집합

$[0,1] = U \cup V$가 분리라고 가정하고, $U, V$가 모두 비어 있지 않다고 가정합니다.

이름을 바꿔 $0 \in U$라 둡니다 ($0$은 $U$와 $V$ 중 하나에 속하는데, $1 - x$ 대칭으로 두 경우 모두 같은 논증이 됩니다).

집합 $S = \{x \in [0,1] : [0,x] \subseteq U\}$와 $c = \sup S$를 둡니다.

$0 \in S$이므로 $S \ne \emptyset$이고, $1$이 상계이므로 완비성 공리에 의해 $c \in [0,1]$이 존재합니다.

먼저 $c \in U$임을 보입니다.

$V$가 $[0,1]$에서 열려 있으므로 그 여집합 $U = [0,1] \setminus V$는 $[0,1]$에서 닫혀 있습니다 — 즉 $U$는 자기 폐포와 같습니다: $\overline{U} \cap [0,1] = U$.

$c = 0$이면 $c = 0 \in U$입니다. $c > 0$이면, 모든 $\varepsilon > 0$에 대해 supremum의 정의로 $x \in S$이고 $c - \varepsilon < x \le c$인 $x$가 존재합니다.

이때 $x \in [0,x] \subseteq U$이므로 근방 $(c-\varepsilon, c+\varepsilon)$가 $U$와 만나고, 따라서 $c \in \overline{U}$입니다.

결론적으로 $c \in \overline{U} \cap [0,1] = U$입니다.

다음으로 $[0,c] \subseteq U$임을 확인합니다: $y < c$이면 supremum의 정의로 $y < x \le c$인 $x \in S$가 있어 $y \in [0,x] \subseteq U$이고, 끝점 $c$ 자체도 앞 단계에서 $U$에 속합니다.

이제 $c = 1$임을 보입니다. $c < 1$이라 가정해 보세요.

$c \in U$이고 $U$가 $[0,1]$에서 열려 있으므로, 어떤 $\delta > 0$에 대해 $(c-\delta, c+\delta) \cap [0,1] \subseteq U$입니다.

$\delta' = \min(\delta/2, (1-c)/2) > 0$으로 두면 ($c < 1$이므로) $[0, c+\delta'] = [0,c] \cup (c, c+\delta'] \subseteq U$가 됩니다.

즉 $c + \delta' \in S$인데 $c + \delta' > c = \sup S$라 모순입니다. 따라서 $c = 1$입니다.

따라서 $[0,1] = [0,c] \subseteq U$입니다.

그런데 분리는 $V \ne \emptyset$를 요구하므로 $v \in V$인 $v$가 존재합니다.

$v \in [0,1] \subseteq U$이면서 $v \in V$이면 $U \cap V \ne \emptyset$가 되어 서로소라는 가정에 모순됩니다.

결론적으로 $[0,1]$의 분리는 존재하지 않으며, $[0,1]$은 연결집합입니다.

씬에서 절단이 늘 실패하는 이유가 이것입니다 — 절단점 $t \in [0,1]$은 어느 열린 쪽에도 속할 수 없고, 이 증명은 그 현상이 모든 열린 쌍에서 일어난다고 말합니다.

$X$가 path-연결이고, 모순을 위해 $X = U \cup V$가 분리라고 가정합니다: $U, V$는 $X$에서 열려 있고, 서로소이며, 모두 비어 있지 않습니다.

$a \in U$, $b \in V$를 잡습니다.

path-연결성에 의해 연속함수 $\gamma : [0,1] \to X$이고 $\gamma(0) = a$, $\gamma(1) = b$인 것이 존재합니다.

$A = \gamma^{-1}(U)$, $B = \gamma^{-1}(V)$로 둡니다.

$\gamma$가 연속이고 $U, V$가 $X$에서 열려 있으므로, $A$와 $B$는 $[0,1]$에서 열려 있습니다: $t_0 \in A$이면 $\gamma(t_0) \in U$이고, $U$가 열려 있어 어떤 $\varepsilon > 0$에 대해 $U$가 $\gamma(t_0)$의 $\varepsilon$-근방을 포함하며, 연속성에 의해 $\gamma$는 $t_0$의 어떤 $\delta$-근방 전체를 그 $\varepsilon$-근방 안으로 보내므로, 그 $\delta$-근방은 $A$ 안에 들어갑니다. $B$도 마찬가지입니다.

네 가지 분리 조건을 $[0,1]$에서 확인합니다.

덮음: 모든 $t \in [0,1]$에 대해 $\gamma(t) \in X = U \cup V$이므로 $t \in A \cup B$, 즉 $[0,1] = A \cup B$입니다.

서로소: $t \in A \cap B$이면 $\gamma(t) \in U \cap V = \emptyset$가 되어 불가능하므로 $A \cap B = \emptyset$입니다.

비어 있지 않음: $0 \in A$ ($\gamma(0) = a \in U$)이고 $1 \in B$ ($\gamma(1) = b \in V$)입니다.

즉 $[0,1] = A \cup B$는 $[0,1]$의 분리입니다.

이는 문제 1 — $[0,1]$은 연결집합이라 분리가 존재하지 않는다 — 에 모순됩니다.

따라서 $X$의 분리 $X = U \cup V$는 존재할 수 없고, $X$는 연결집합입니다.

역은 성립하지 않습니다: 위상수학자의 사인 곡선의 폐포는 연결집합이지만 path-연결집합은 아닙니다.

$A \subseteq \mathbb{Q}$가 두 점 이상을 가진다고 하고, $p, q \in A$이며 $p < q$인 두 점을 잡습니다.

$\alpha = p + \frac{q - p}{\sqrt{2}}$로 둡니다.

$0 < \frac{1}{\sqrt{2}} < 1$이므로 (즉 $1 < \sqrt{2} < 2$이므로) $\alpha$는 $p$와 $q$ 사이의 엄격한 볼록결합입니다:

$p < \alpha < q$.

$\alpha$는 무리수입니다. $\alpha \in \mathbb{Q}$라 가정해 보세요.

그러면 $\alpha - p \in \mathbb{Q}$이고 $\alpha - p = \frac{q - p}{\sqrt{2}} > 0$라서 0이 아니며, 식을 정리하면 $\sqrt{2} = \frac{q - p}{\alpha - p}$가 됩니다.

$q - p \in \mathbb{Q}$이고 0이 아니므로 이 비율은 유리수입니다 — $\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}$라는 사실에 모순됩니다.

따라서 $\alpha \notin \mathbb{Q}$이고, 특히 $\alpha$는 $A$의 어떤 원소와도 같지 않습니다.

$U = A \cap (-\infty, \alpha)$, $V = A \cap (\alpha, \infty)$로 둡니다.

열림: $(-\infty, \alpha)$와 $(\alpha, \infty)$는 $\mathbb{R}$에서 열린 구간이므로, $U$와 $V$는 부분공간 $A$에서 열려 있습니다.

서로소: $x < \alpha$와 $x > \alpha$는 양립할 수 없으므로 $U \cap V = \emptyset$입니다.

덮음: $a \in A$이면 $a \in \mathbb{Q}$라서 $a \ne \alpha$이고, 따라서 $a < \alpha$ (즉 $a \in U$)이거나 $a > \alpha$ (즉 $a \in V$)입니다. 즉 $A = U \cup V$입니다.

비어 있지 않음: $p \in U$ ($p < \alpha$)이고 $q \in V$ ($\alpha < q$)입니다.

즉 $A = U \cup V$는 $A$의 분리이므로 $A$는 연결집합이 아닙니다.

$A$는 두 점 이상을 가진 $\mathbb{Q}$의 임의의 부분집합이었으므로, $\mathbb{Q}$의 연결인 부분집합은 점이 최대 하나뿐입니다 — $\mathbb{Q}$는 완전 비연결입니다.

씬의 절단 $\sqrt{2}/2$가 바로 이 $\alpha$의 한 예입니다 ($p = 0$, $q = 1$에서 $\alpha = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$). 유리수 사이에는 늘 무리수가 끼어들어 집합을 갈라놓습니다.