폐포와 유계 | Real Analysis

집합의 폐포를 보는 씬입니다. 빠져나간 극한점을 모두 붙이면 어떻게 닫히는지 확인합니다.

폐포는 집합이 닿으려던 점까지 품은 것입니다. 아무리 가까이 가도 닿지 않던 점이 있으면, 그 점을 붙여야 닫힙니다. 이미 모든 극한점을 품은 집합은 자기 폐포와 같습니다. 여기에 유계까지 더해지면 컴팩트와 이어집니다.

예를 들면, 📦 상자에 물건을 넣고 뚜껑을 닫아 보세요. 뚜껑까지 닫아야 상자가 완성됩니다. 폐포는 집합에 그 뚜껑에 해당하는 경계점을 붙이는 일입니다.

예제

$(0,1)$ 의 폐포가 $[0,1]$ 임을 증명하세요.

\overline{(0,1)} = [0,1]

빨간 점

0, 1

— 폐포가 추가한 극한점.

증명 보기

$(0,1)$ 의 점은 자명히 폐포에 속한다.
$x = 0$ 이라 하자: 임의의 $\varepsilon > 0$ 에 대해 증인점 $\min(\varepsilon/2, 1/2) \in (0,\varepsilon) \cap (0,1)$ 이므로 ( $\varepsilon \ge 2$ 이면 $\varepsilon/2$ 는 $(0,1)$ 을 벗어날 수 있어 $\min$ 이 필요합니다), $0$ 의 모든 근방이 $(0,1)$ 과 만난다.
즉 $0 \in \overline{(0,1)}$ 이다.
마찬가지로 $x = 1$ 의 모든 $\varepsilon$ -근방은 $1 - \min(\varepsilon/2, 1/2) \in (0,1)$ 을 포함하므로 $1 \in \overline{(0,1)}$ 이다.
$x < 0$ 이면 반지름 $-x/2$ 인 공이 $(-\infty, 0)$ 안에 있어 $(0,1)$ 과 만나지 않고, $x > 1$ 도 마찬가지다. 따라서 폐포는 정확히 $[0,1]$ 이다.

$(0,1)$ 이 닫힌집합이 아님을 폐포를 이용해 증명하세요.

0 \in \overline{(0,1)} \setminus (0,1)

M = 2

— 담는 구간을 넓혀도 닫힘은 생기지 않는다.

증명 보기

닫힌집합은 폐포와 같아야 한다: $A$ 가 닫힘 ⟺ $\overline{A} = A$ .
예제 1에서 $\overline{(0,1)} = [0,1]$ 이다. 그런데 $0 \in [0,1]$ 이지만 $0 \notin (0,1)$ 이므로, 폐포가 집합보다 크다.
따라서 $(0,1) \neq \overline{(0,1)}$ 이므로 $(0,1)$ 은 닫힌집합이 아니다.

$A = \{1/n : n \geq 1\}$ 이 유계임을 보이고, 그 폐포가 $A \cup \{0\}$ 임을 증명하세요.

\overline{\{1/n : n \geq 1\}} = \{1/n : n \geq 1\} \cup \{0\}

빨간 점

0

— 수열이 다가가지만 닿지 않는 극한점.

증명 보기

모든 $n$ 에 대해 $0 < 1/n \leq 1$ 이므로, $M = 1$ 에 대해 $x \in A$ 이면 $\lvert x\rvert \leq M$ — $A$ 는 유계다.
$0$ 의 임의의 $\varepsilon$ -근방은 $1/N < \varepsilon$ 인 $N$ 에 대해 $1/N \in A$ 를 포함하므로, $0$ 은 $A$ 의 극한점이다. 즉 $0 \in \overline{A}$ 이다.
$A \cup \{0\}$ 밖의 점은 $A$ 를 피한다: $x < 0$ 이면 반지름 $\lvert x\rvert/2$ 인 공이 $A$ 와 만나지 않고, $x > 1$ 도 마찬가지이며, $(0,1]$ 에서 $A$ 에 속하지 않은 점은 이웃한 두 항 $1/(n+1) < x < 1/n$ 사이에 있어 양쪽까지의 거리만큼의 공이 $A$ 를 피한다. 따라서 폐포는 정확히 $A \cup \{0\}$ 이다.