베어 1급 함수

먼저 합이 기약분수에 대해서만 취해지는 이유를 분명히 합니다.

모든 순서쌍 $(p, q)$에 대해 합하면 같은 유리수가 여러 번 세어집니다 ($1/2 = 2/4 = 3/6 = \cdots$).

그러면 $x = 1/2$에서 높이가 $1/2 + 1/4 + 1/6 + \cdots$로 쌓여 발산하므로 Thomae 함수로 수렴할 수 없습니다.

기약분수만 취하면 각 유리수가 정확히 한 번씩 등장합니다.

각 텐트 $x \mapsto \mathrm{tri}(n^3(x - p/q))$는 연속함수들의 합성이므로 연속이고, 합은 유한합(항이 최대 $\sum_{q \le n}(q+1)$개)이므로 $f_n$은 연속입니다. 또한 $f_n \ge 0$입니다.

텐트들은 서로 겹치지 않습니다.

분모가 $\le n$인 서로 다른 기약분수 $p/q \ne r/s$에 대해 $\left|\frac{p}{q} - \frac{r}{s}\right| = \frac{|ps - qr|}{qs} \ge \frac{1}{qs}$입니다.

$qs \le n(n-1)$이면 이는 $\ge 1/(n(n-1))$이고, $qs = n^2$이면 $q = s = n$이므로 $|ps - qr| = n|p - r| \ge n$이어서 몫은 $\ge 1/n \ge 1/(n(n-1))$입니다.

따라서 간격은 항상 $\ge 1/(n(n-1))$입니다.

텐트의 받침(support) 너비는 $2/n^3$인데, $2/n^3 < 1/(n(n-1))$입니다 ($2(n-1) < n^2$, 즉 $(n-1)^2 + 1 > 0$). 따라서 두 텐트의 받침이 겹칠 수 없고, 각 점 $x$에서는 최대 하나의 텐트만 0이 아닙니다.

유리수 $x = a/b$ (기약분수, $0 \le a \le b$)인 경우: $n \ge b$이면 $(a, b)$ 텐트가 $\frac{1}{b}\,\mathrm{tri}(0) = 1/b$를 기여합니다.

다른 기약분수 $p/q$ ($q \le n$)와의 거리는 $\ge 1/(n(n-1)) > 1/n^3$이므로 그 텐트는 $x$에서 0입니다.

따라서 $f_n(a/b) = 1/b = T(a/b)$ — $n \ge b$부터 영원히 정확합니다.

무리수 $x$인 경우: $\varepsilon > 0$에 대해 $1/Q_0 < \varepsilon$인 정수 $Q_0 \ge 1$을 택합니다.

분모 $\le Q_0$인 기약분수는 $[0, 1]$ 안에 유한개뿐이고 모두 $x$와 다르므로, $c := \min|x - p/q| > 0$입니다.

$n^3 c > 1$인 $n$에 대해 분모 $\le Q_0$인 텐트들은 $x$를 빗나가고, 나머지 텐트들의 높이는 $\le 1/(Q_0+1) < \varepsilon$이며, $x$에서 0이 아닌 텐트는 최대 하나뿐입니다.

따라서 $0 \le f_n(x) < \varepsilon$ — 즉 $f_n(x) \to 0 = T(x)$입니다.

유리수 $r = a/b$ (기약분수)에서는 $T(r) = 1/b > 0$입니다.

무리수는 조밀하므로 $r$로 수렴하는 무리수열 $x_k \to r$이 있고, $T(x_k) = 0 \not\to 1/b = T(r)$입니다.

따라서 $T$는 $r$에서 불연속입니다.

무리수 $x_0$에서는 $T(x_0) = 0$입니다.

$\varepsilon > 0$에 대해 $M > 1/\varepsilon$인 정수를 택합니다.

$1/b \ge \varepsilon$인 유리수, 즉 분모 $b \le M$인 유리수는 구간 $[x_0 - 1, x_0 + 1]$ 안에 유한개뿐입니다.

$\delta$를 그 유한집합에서 $x_0$까지의 최소 거리라 하면 ($x_0$가 무리수이므로 $\delta > 0$), $|x - x_0| < \delta$인 모든 $x$에 대해: $x$가 유리수이면 분모가 $M$보다 크므로 $T(x) < \varepsilon$이고, 무리수이면 $T(x) = 0$입니다.

즉 $|T(x) - T(x_0)| < \varepsilon$ — $T$는 $x_0$에서 연속입니다.

따라서 연속점 집합은 무리수 전체 $\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$입니다.

각 유리수 $\{p/q\}$는 닫힌집합이므로 그 여집합 $\mathbb{R} \setminus \{p/q\}$는 열린 조밀집합입니다.

고정된 $q$에 대해 모든 $p$를 제거해야 하므로 교집합을 취합니다: $\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} = \bigcap_{q \ge 1}\bigcap_{p \in \mathbb{Z}}(\mathbb{R} \setminus \{p/q\})$ — 순서쌍 $(p, q)$가 가산개이므로 이는 열린집합들의 가산교집합, 즉 $G_\delta$입니다.

무리수는 조밀하므로 이는 조밀한 $G_\delta$입니다.

먼저 $\omega_f(x) = 0$가 $x$에서의 연속성과 동치임을 확인합니다.

($\Rightarrow$) $\omega_f(x) = 0$이면 모든 $\varepsilon > 0$에 대해 $\mathrm{diam}\,f(U) < \varepsilon$인 근방 $U$가 있어, $y \in U$일 때 $|f(y) - f(x)| \le \mathrm{diam}\,f(U) < \varepsilon$입니다.

($\Leftarrow$) $f$가 $x$에서 연속이면 모든 $\varepsilon > 0$에 대해 $f(U) \subseteq (f(x) - \varepsilon, f(x) + \varepsilon)$인 근방 $U$가 있어 $\mathrm{diam}\,f(U) \le 2\varepsilon$, 즉 $\omega_f(x) \le 2\varepsilon$입니다.

$\varepsilon$이 임의이므로 $\omega_f(x) = 0$입니다.

$\{x : \omega_f(x) < 1/k\}$는 열려 있습니다: $\omega_f(x_0) < c < 1/k$이면 $\mathrm{diam}\,f(U) < c$인 근방 $U$가 존재하고, 모든 $x \in U$에 대해 $U$ 자체가 $x$의 근방이므로 $\omega_f(x) \le \mathrm{diam}\,f(U) < c < 1/k$입니다. 즉 $U \subseteq \{\omega_f < 1/k\}$입니다.

이제 조밀성을 보입니다.

$f_n \to f$를 점별수렴하는 연속함수열이라 하세요.

$\mathbb{R}$을 길이 $< 1/(2k)$인 닫힌구간들 $V_j$ ($j \in \mathbb{Z}$)로 덮되, 그 내부들도 $\mathbb{R}$을 덮도록 합니다 (예: $V_j = [\frac{j}{8k} - \frac{1}{8k}, \frac{j}{8k} + \frac{1}{8k}]$.

비어 있지 않은 열린집합 $U_0$를 고정합니다.

각 $x \in U_0$에 대해 $f(x)$는 어떤 $\mathrm{int}(V_j)$에 속하고, $f_m(x) \to f(x)$이므로 $m \ge n$일 때 $f_m(x) \in V_j$인 $n$이 존재합니다.

따라서 $U_0 = \bigcup_{n,j} H_{n,j}$입니다.

여기서 $H_{n,j} = \{x \in U_0 : m \ge n \Rightarrow f_m(x) \in V_j\}$는 $U_0$에서 상대적으로 닫힌집합입니다 ($f_m$ 연속, $V_j$ 닫힘).

$U_0$ 자체는 완비가 아니므로 Baire 정리를 $U_0$에 직접 적용할 수는 없습니다 — 대신 닫힌공으로 제한합니다.

$U_0$가 열려 있고 비어 있지 않으므로 $\overline{B}(x_0, r) \subseteq U_0$인 닫힌공이 있고, $\overline{B}(x_0, r)$는 완비입니다.

$\overline{B}(x_0, r) = \bigcup_{n,j} (H_{n,j} \cap \overline{B}(x_0, r))$이고 각 $H_{n,j} \cap \overline{B}(x_0, r)$는 이 완비공간에서 닫혀 있으므로, Baire 정리에 의해 어떤 $H_{n_0,j_0} \cap \overline{B}(x_0, r)$는 $\overline{B}(x_0, r)$에서 상대내부가 비어 있지 않습니다.

열린공 $B(x_0, r)$와 교차시키면 비어 있지 않은 열린집합 $W \subseteq H_{n_0,j_0}$ ($W \subseteq U_0$)를 얻습니다 (상대내부를 이루는 열린집합은 $\overline{B}(x_0, r)$와 만나므로 그 내부와도 만납니다).

$y \in W$에 대해 $f_m(y) \in V_{j_0}$ ($m \ge n_0$)이고 $V_{j_0}$가 닫혔으므로 극한 $f(y) \in V_{j_0}$입니다.

즉 $f(W) \subseteq V_{j_0}$이므로 $\mathrm{diam}\,f(W) < 1/(2k)$입니다.

$W$는 그 안의 각 점 $x$의 근방이므로 $\omega_f(x) \le \mathrm{diam}\,f(W) < 1/k$입니다.

따라서 $W \subseteq U_0 \cap \{\omega_f < 1/k\} \ne \varnothing$ — $\{\omega_f < 1/k\}$는 조밀합니다.

각 $\{\omega_f < 1/k\}$가 열린 조밀집합이므로, Baire 카테고리 정리에 의해 $G := \bigcap_{k=1}^{\infty}\{\omega_f < 1/k\}$는 조밀한 $G_\delta$입니다. 첫 단계에서 $G \subseteq \{\omega_f = 0\} = \{f$의 연속점$\}$이므로, $f$의 연속점 집합은 조밀한 $G_\delta$를 포함합니다. ∎