칸토어 집합

각 단계에서 모든 구간이 두 개로 쪼개지므로, $n$단계의 구간 수는 $2^n$개입니다. 따라서 $C_3$은 $2^3 = 8$개의 구간으로 이루어져 있습니다.

$n$단계의 각 구간 길이는 $\left(\frac13\right)^n$이므로, 전체 길이는 $2^n \cdot \left(\frac13\right)^n = \left(\frac23\right)^n$입니다.

$n = 3$일 때 전체 길이는 $\left(\frac23\right)^3 = \frac{8}{27} \approx 0.296$입니다.

삼진법으로 $0.020202\ldots_3 = \sum_{j=1}^{\infty} 2\cdot 3^{-2j}$입니다. 등비급수 합 공식으로 $\frac{2\cdot \frac19}{1-\frac19} = \frac{2/9}{8/9} = \frac14$을 얻습니다.

먼저 삼진법 판정법을 단계에 대한 귀납법으로 증명합니다.

주장: $x \in C_n$인 것과, 처음 $n$개의 삼진 숫자가 모두 $0$ 또는 $2$인 전개가 $x$에 존재하는 것은 동치입니다.

$n = 0$에서는 자명합니다 ($C_0 = [0,1]$).

귀납 단계: $C_n$의 각 구간은 $[s, s + 3^{-n}]$ ($s = \sum_{k \le n} c_k 3^{-k}$, $c_k \in \{0,2\}$) 꼴이고, 이를 삼등분하면 왼쪽·오른쪽 닫힌 삼등분이 다음 숫자 $0$, $2$에, 제거되는 열린 가운데 삼등분이 다음 숫자 $1$에 대응합니다.

따라서 $C_{n+1}$의 구간은 정확히 숫자를 $0$ 또는 $2$로 연장한 것들이고, 숫자 $1$을 쓰는 점은 (그 숫자로 시작하는 가운데 구간 안에 들어가는) 그 단계에서 제거됩니다 — 단, 끝점은 $1$로 끝나는 전개의 대안 전개($\ldots 1000\ldots_3 = \ldots 0222\ldots_3$)를 가지므로, 판정은 전개가 "존재"한다는 것으로 진술해야 합니다.

이 전개에는 숫자 $1$이 등장하지 않습니다. 방금 증명한 삼진법 판정법(전개에 $1$이 없는 수가 정확히 살아남는 수)에 의해, 모든 $n$에 대해 $\frac14 \in C_n$입니다: 처음 $n$개 숫자가 $0, 2$뿐이므로 $\frac14$는 어떤 단계에서도 지워지는 가운데 구간에 들어가지 않습니다.

따라서 $\frac14$는 모든 $C_n$에 속하고, $C = \bigcap_n C_n$에도 속합니다.

$C \subseteq C_n$ (모든 $n$에 대해)이고, $C_n$은 전체 길이가 $\left(\frac23\right)^n$인 $2^n$개의 구간으로 이루어져 있습니다.

$\varepsilon > 0$이 주어지면 $\left(\frac23\right)^n < \varepsilon$인 $n$을 잡습니다 ($\left(\frac23\right)^n \to 0$이므로 가능합니다). 그러면 $C$는 전체 길이가 $\varepsilon$보다 작은 유한 개의 구간으로 덮입니다.

임의로 작은 전체 길이로 덮을 수 있는 집합의 측도는 $0$입니다(르벡 외측도의 정의). 참고로 $C$는 비가산집합이라는 사실도 알려져 있습니다 — 길이가 0인데 점은 셀 수 없이 많은 것입니다.