페아노 곡선

각 $p_k$는 꺾은선이므로 연속입니다. 매개화는 다음과 같습니다: $p_k$는 각 구간 $[(j-1)/9^k,\, j/9^k]$를 $j$번째 $k$단계 부분정사각형 $Q_j^{(k)}$ (한 변 $3^{-k}$) 안에서 뱀 모양 순서대로 돕니다.

$p_{k+1}$은 세분(refinement)입니다: 구간 $[(j-1)/9^k,\, j/9^k]$ 위에서 $p_{k+1}$은 같은 $Q_j^{(k)}$ 안에 들어 있는 9개의 $(k+1)$단계 부분정사각형을 돕니다 (재귀가 각 $Q_j$ 안에서 같은 패턴을 적용하므로). 따라서 모든 $t$에 대해 $p_k(t)$와 $p_{k+1}(t)$는 같은 $Q_j^{(k)}$ 안에 있고, $|p_{k+1}(t) - p_k(t)| \le \mathrm{diam}\, Q_j^{(k)} = \sqrt{2}\, 3^{-k}$입니다.

꼬리합을 취합니다: $m > n$이면 삼각부등식으로 $|p_m(t) - p_n(t)| \le \sum_{j=n}^{m-1} |p_{j+1}(t) - p_j(t)| \le \sum_{j=n}^{m-1} \sqrt{2}\, 3^{-j} = \sqrt{2}\, 3^{-n}\, \frac{1 - 3^{-(m-n)}}{1 - 1/3} \le \frac{3\sqrt{2}}{2}\, 3^{-n}$입니다. 우변은 $t$와 $m$에 무관하게 $n \to \infty$일 때 0으로 가므로 $(p_k)$는 균등 코시 수열입니다. $\mathbb{R}^2$이 완비이므로 각 $t$에서 $p_k(t)$가 수렴하고, 균등 코시성은 그 수렴이 균등함을 보장합니다 — 극한을 $p$라 하세요.

연속함수들의 균등 극한은 연속입니다: $|p(s) - p(t)| \le |p(s) - p_k(s)| + |p_k(s) - p_k(t)| + |p_k(t) - p(t)|$에서, 균등수렴으로 첫째·셋째 항을 작게 한 뒤 고정된 $k$에 대해 $p_k$의 연속성으로 가운데 항을 작게 하면 됩니다 ($\varepsilon/3$ 논증). 따라서 $p: [0,1] \to [0,1]^2$는 연속인 극한 곡선입니다.

$y \in [0,1]^2$를 임의로 잡습니다. 각 단계 $k$에서 $y$는 어떤 $k$단계 부분정사각형 $Q^{(k)}$ (한 변 $3^{-k}$) 안에 들어 있습니다.

$p_k$는 모든 $k$단계 부분정사각형을 방문하므로, $p_k(t_k) \in Q^{(k)}$인 $t_k$가 존재합니다.

$(t_k)$는 $[0,1]$의 수열이므로 컴팩트성에 의해 수렴하는 부분수열 $t_{k_j} \to t$가 존재합니다. 연속성에 의해 $p(t_{k_j}) \to p(t)$입니다.

그런데 $|p(t_{k_j}) - y| \le |p(t_{k_j}) - p_{k_j}(t_{k_j})| + |p_{k_j}(t_{k_j}) - y|$에서, 첫째 항은 peano-uniform-limit에서 증명한 균등 꼬리 추정 ($m > n$이면 $|p_m - p_n| \le \frac{3\sqrt{2}}{2}\, 3^{-n}$; $m \to \infty$로 보냄)에 의해 $\frac{3\sqrt{2}}{2}\, 3^{-k_j}$ 이하이고, 둘째 항은 두 점이 모두 지름 $\sqrt{2}\, 3^{-k_j}$인 같은 $Q^{(k_j)}$ 안에 있으므로 $\sqrt{2}\, 3^{-k_j}$ 이하입니다. 둘 다 $0$으로 가므로 $p(t) = y$입니다.

$y$가 임의였으므로 $p$는 $[0,1]^2$의 모든 점을 지나갑니다 — 연속인 전사함수 $p: [0,1] \to [0,1]^2$입니다. 1차원 구간이 2차원 정사각형을 "채울" 수 있다는 것이 페아노의 발견(1890)입니다.

두 보조정리부터 증명합니다. (A) 컴팩트 집합의 연속상은 컴팩트: $K$ 컴팩트, $f$ 연속이면 $f(K)$의 열린 덮개 $\{U_i\}$에 대해 $\{f^{-1}(U_i)\}$는 $K$의 열린 덮개이므로 유한 부분덮개가 있고, 그 상들이 $f(K)$를 덮습니다.

(B) Hausdorff 공간의 컴팩트 부분집합은 닫혀 있음: $K \subseteq Y$ 컴팩트, $y \notin K$이면 각 $x \in K$에 대해 서로소인 근방 $U_x \ni x$, $V_x \ni y$가 존재하고 (Hausdorff), 유한개의 $U_{x_i}$가 $K$를 덮으므로 $\bigcap V_{x_i}$는 $K$와 만나지 않는 $y$의 근방입니다.

Netto 정리: 컴팩트 공간에서 Hausdorff 공간으로의 연속 전단사는 동형사상(homeomorphism)입니다. 실제로 $F \subseteq K$가 닫혀 있으면 $F$는 컴팩트합니다 — 컴팩트 집합의 닫힌 부분집합은 컴팩트합니다 ($K = [0,1]$인 경우 Heine–Borel 정리) — 따라서 $f(F)$는 (A)에 의해 컴팩트하므로 (B)에 의해 $Y$에서 닫혀 있습니다 — 즉 $f$는 닫힌 사상입니다.

닫힌 전단사는 동형사상입니다 ($(f^{-1})^{-1}(F) = f(F)$가 닫혀 있으므로 $f^{-1}$이 연속).

이제 $f: [0,1] \to [0,1]^2$가 연속 전단사라고 가정하면 동형사상이어야 합니다. 내부의 점 $c \in (0,1)$을 제거하면 $[0,1] \setminus \{c\} = [0,c) \cup (c,1]$은 서로소인 비어 있지 않은 열린 집합으로 분리되므로 연결집합이 아닙니다.

반면 $[0,1]^2$에서 대응점 $r := f(c)$를 제거한 공간이 경로연결임을 식으로 보입니다.

$p, q \ne r$인 두 점을 잡습니다. $p = q$이면 상수 경로 $\gamma(t) \equiv p$입니다. $p \ne q$인 경우 직선 $L(t) = (1-t)p + tq$ ($t \in [0,1]$)를 봅니다. $r \notin L([0,1])$이면 $\gamma = L$이 원하는 경로입니다.

$r \in L([0,1])$이면 $r = L(t_0)$인 $t_0 \in (0,1)$이 유일하게 존재합니다 ($r \ne p, q$이므로). 중점 $m = \frac{p+q}{2}$, 방향 $d = q - p$, 단위 법선 $n = \frac{(-d_2, d_1)}{|d|}$를 두고, 우회점 $s = m + \varepsilon n$ ($\varepsilon \ne 0$, 아래에서 명시적으로 선택)을 잡습니다. 경로는 두 선분의 연결입니다: $\gamma(t) = (1-2t)p + 2ts$ ($0 \le t \le \frac12$), $\gamma(t) = (2-2t)s + (2t-1)q$ ($\frac12 \le t \le 1$).

$r$을 피하는지 확인합니다. 직선 $pq$ 위의 점 $x$는 $n \cdot (x - m) = 0$을 만족하고 ($n \perp d$), $r$도 그 위에 있으므로 $n \cdot (r - m) = 0$입니다. $[p,s]$ 위의 점 $(1-u)p + us = (1-\frac{u}{2})p + \frac{u}{2}q + u\varepsilon n$에 대해 $n \cdot (x - m) = u\varepsilon$이므로, 이것이 $r$과 같아지려면 $u\varepsilon = 0$, 즉 $u = 0$ — 그 점은 $p \ne r$뿐입니다.

$[s,q]$ 위의 점 $(1-u)s + uq = \frac{1-u}{2}p + \frac{1+u}{2}q + (1-u)\varepsilon n$에 대해서도 $n \cdot (y - m) = (1-u)\varepsilon$이므로 $(1-u)\varepsilon = 0$에서 $u = 1$ — 즉 점 $q \ne r$뿐입니다. 따라서 $\gamma$는 $r$을 지나지 않습니다.

$\varepsilon$의 명시적 선택 ($s \in [0,1]^2$ 보장): $m$은 꼭짓점이 될 수 없습니다 ($m$이 꼭짓점이면 $p = q = m$이 되어 $p \ne q$에 모순). $\delta = \min(m_1, 1-m_1, m_2, 1-m_2) \ge 0$이라 둡니다. $\delta > 0$이면 ($m$이 내부) $\varepsilon = \delta/2$로 둡니다: $|s - m| = \delta/2 < \delta$이므로 $s$는 내부에 있습니다.

$\delta = 0$이면 $m$은 변 위에 있고 꼭짓점은 아닙니다. 예를 들어 $m = (m_1, 0)$, $m_1 \in (0,1)$인 경우 (나머지 세 변은 $(x,y) \mapsto (x,1-y)$ 등의 대칭으로 동일) $\eta = \frac12\min(m_1, 1-m_1) > 0$으로 두고, $n_2 \ge 0$이면 $s = m + \eta n$, $n_2 < 0$이면 $s = m - \eta n$으로 둡니다. 그러면 $s_2 = \eta|n_2| \in [0,\eta] \subset [0,1]$, $|s_1 - m_1| \le \eta \le \frac12\min(m_1, 1-m_1)$이므로 $s_1 \in (0,1)$ — 즉 $s \in [0,1]^2$입니다. $s \in [0,1]^2$이면 볼록성에 의해 두 선분 $[p,s]$, $[s,q]$도 $[0,1]^2$ 안에 있습니다.

따라서 $[0,1]^2 \setminus \{r\}$의 임의의 두 점은 $r$을 피하는 명시적 경로로 연결됩니다 — 경로연결이므로 연결집합입니다. 동형사상은 점을 제거한 공간으로 제한해도 동형사상이므로 모순입니다. 따라서 연속 전단사는 존재하지 않고, 페아노 전사함수는 단사일 수 없습니다.