위상수학자의 사인 곡선

위상수학자의 사인 곡선을 보는 씬입니다. 0 근처에서 끝없이 진동하는 곡선과, 거기에 붙는 극한 선분을 확인합니다.

곡선은 0에 다가갈수록 더 빠르게 흔들립니다. 그래서 반대쪽 축 위의 선분 전체가 곡선에 붙습니다. 붙은 도형은 하나로 이어져 있습니다. 하지만 선분에서 곡선으로 걸어가는 길은 없습니다. 이어져 있는 것과 길이 있는 것은 다릅니다.

예를 들면, 🧵 줄 한쪽 끝을 점점 빠르게 흔들어 보세요. 흔들리는 끝은 흐릿한 띠처럼 보입니다. 띠는 눈에 보여도, 띠의 한 점에서 줄의 특정 부분으로 걸어갈 수는 없습니다.

S={(x,sin⁡(1/x)):x>0},S‾=S∪({0}×[−1,1])S = \{(x, \sin(1/x)) : x > 0\}, \quad \overline{S} = S \cup \bigl(\{0\} \times [-1,1]\bigr)
S‾ connected,S‾ not path-connected\overline{S} \text{ connected},\quad \overline{S} \text{ not path-connected}

예제

S={(x,sin⁡(1/x)):x>0}⊆R2S = \{(x, \sin(1/x)) : x > 0\} \subseteq \mathbb{R}^2이 연결집합임을 완전히 증명하세요.

S=f((0,∞)),f(x)=(x, sin⁡(1/x))S = f((0,\infty)), \qquad f(x) = (x,\, \sin(1/x))
xmin⁡=0.05x_{\min} = 0.05: 곡선 SS 하나만 봐도 0 근처에서 무한히 진동하지만, 끊어지지 않은 하나의 연속 곡선입니다.
증명 보기

  1. (0,∞)(0,\infty)는 연결집합입니다 (구간이므로 — R\mathbb{R}의 연결성 증명과 같은 sup⁡\sup 논증이 그대로 적용됩니다). 사상 f(x)=(x,sin⁡(1/x))f(x) = (x, \sin(1/x))는 두 좌표함수가 모두 연속이므로 연속이고, 그 상이 정확히 SS입니다.

  2. 연속함수 아래에서 연결집합의 상은 연결집합입니다: f(X)=A∪Bf(X) = A \cup B가 서로소인 비어 있지 않은 (상대적으로) 열린 집합으로의 분해라면, X=f−1(A)∪f−1(B)X = f^{-1}(A) \cup f^{-1}(B)도 서로소인 비어 있지 않은 상대 열린 집합으로의 분해가 되어 XX의 연결성에 모순되기 때문입니다 (A,BA, B가 비어 있지 않으면 그 역상도 비어 있지 않습니다).

  3. 따라서 S=f((0,∞))S = f((0,\infty))는 연결집합입니다. 연결집합의 폐포도 연결집합이므로 T=S‾T = \overline{S} 역시 연결집합입니다 — 아래 문제 2에서 이 폐포를 구합니다.

S‾=S∪({0}×[−1,1])\overline{S} = S \cup \big(\{0\} \times [-1,1]\big)임을 완전히 증명하세요.

즉 SS의 폐포는 SS에 수직 선분 {0}×[−1,1]\{0\} \times [-1,1]을 더한 것과 같습니다.

S‾=S∪({0}×[−1,1])\overline{S} = S \cup \big(\{0\} \times [-1,1]\big)
xmin⁡=0.01x_{\min} = 0.01: 0에 더 가까이 다가가면 점열 (xn,1)(x_n, 1), (xn,−1)(x_n, -1)이 빨간 선분의 양 끝점으로 수렴하는 것이 보입니다.
증명 보기

  1. ⊇\supseteq: S⊆S‾S \subseteq \overline{S}는 자명합니다. ∣y∣≤1|y| \le 1인 점 (0,y)(0,y)에 대해 xn=1arcsin⁡y+2πnx_n = \frac{1}{\arcsin y + 2\pi n} (n≥1n \ge 1)이라 두면 xn→0+x_n \to 0^+이고 sin⁡(1/xn)=sin⁡(arcsin⁡y+2πn)=y\sin(1/x_n) = \sin(\arcsin y + 2\pi n) = y입니다.

    따라서 (xn,y)∈S(x_n, y) \in S가 (0,y)(0,y)로 수렴하므로, {0}×[−1,1]\{0\} \times [-1,1]의 모든 점은 SS의 극한점입니다.

  2. ⊆\subseteq: p∈S‾p \in \overline{S}라 하세요. p=(x,y)p = (x,y)에서 x<0x < 0이면 공 B(p,∣x∣/2)B(p, |x|/2)는 SS의 점(첫 좌표가 모두 양수)을 전혀 포함하지 않으므로 불가능합니다. x>0x > 0이고 p∉Sp \notin S라 가정하면, K=f([x/2, 3x/2])K = f([x/2,\, 3x/2]) (ff는 위 문제의 사상)는 컴팩트 집합의 연속상이므로 컴팩트, 따라서 닫혀 있습니다.

    임의의 r>0r > 0를 잡습니다: 공 B(p,min⁡(r,x/2))B(p, \min(r, x/2))와 만나는 SS의 점은 첫 좌표가 (x/2, 3x/2)(x/2,\, 3x/2) 안에 있으므로 KK에 속합니다. p∈S‾p \in \overline{S}이므로 이 공은 SS와 만나고, 따라서 KK와도 만나므로 dist⁡(p,K)<r\operatorname{dist}(p, K) < r입니다. r>0r > 0이 임의였으므로 p∈K‾=K⊆Sp \in \overline{K} = K \subseteq S — 모순입니다. 그러므로 x>0x > 0이면 p∈Sp \in S입니다.

  3. 마지막으로 p=(0,y)p = (0,y)인 경우: (u,v)∈S(u,v) \in S에 대해 ∣p−(u,v)∣≥∣y−v∣≥∣y∣−1|p - (u,v)| \ge |y - v| \ge |y| - 1입니다 (∣v∣=∣sin⁡∣≤1|v| = |\sin| \le 1). ∣y∣>1|y| > 1이면 공 B(p,(∣y∣−1)/2)B(p, (|y|-1)/2)가 SS와 만나지 않아 p∈S‾p \in \overline{S}에 모순됩니다.

    따라서 ∣y∣≤1|y| \le 1, 즉 p∈{0}×[−1,1]p \in \{0\} \times [-1,1]입니다. 세 경우를 합치면 S‾=S∪({0}×[−1,1])\overline{S} = S \cup (\{0\} \times [-1,1])입니다.

T=S‾T = \overline{S}는 경로연결집합이 아님을 완전히 증명하세요: 선분 {0}×[−1,1]\{0\} \times [-1,1] 위의 점에서 SS의 점으로 가는 TT 안의 경로는 존재하지 않습니다.

γ(0)∈{0}×[−1,1], γ(1)∈S  ⟹  no continuous γ:[0,1]→T\gamma(0) \in \{0\} \times [-1,1],\ \gamma(1) \in S \implies \text{no continuous } \gamma: [0,1] \to T
빨간 선분에서 곡선으로 "걸어가" 보세요 — 0 근처의 무한 진동이 어떤 경로도 막아섭니다. 증명은 이 장애물을 수열로 포착합니다.
증명 보기

  1. γ:[0,1]→T\gamma: [0,1] \to T가 연속이고 γ(0)∈{0}×[−1,1]\gamma(0) \in \{0\} \times [-1,1], γ(1)∈S\gamma(1) \in S라고 가정하고 모순을 이끌어냅니다. γ(t)=(x(t),y(t))\gamma(t) = (x(t), y(t))라 쓰고, c=sup⁡{t∈[0,1]:x(t)=0}c = \sup\{t \in [0,1] : x(t) = 0\}이라 둡니다 (0을 포함하므로 비어 있지 않음). 연속성에 의해 x(c)=0x(c) = 0이고, x(1)>0x(1) > 0이므로 c<1c < 1입니다.

    또한 T⊆{x≥0}T \subseteq \{x \ge 0\}입니다 (T=S‾T = \overline{S}의 정의에 의해: SS의 점은 첫 좌표가 양수이고 극한점인 수직 선분은 첫 좌표가 00임), 따라서 모든 tt에서 x(t)≥0x(t) \ge 0입니다. t∈(c,1]t \in (c,1]에서는 x(t)≠0x(t) \ne 0이므로 (그렇지 않으면 sup⁡\sup이 더 커집니다) x(t)>0x(t) > 0입니다.

  2. t∈(c,1]t \in (c,1]에서 γ(t)∈T\gamma(t) \in T의 첫 좌표가 양수이므로 γ(t)∈S\gamma(t) \in S, 즉 y(t)=sin⁡(1/x(t))y(t) = \sin(1/x(t))입니다. vn=12πn+π/2→0v_n = \frac{1}{2\pi n + \pi/2} \to 0이므로 nn이 크면 vn<x(1)v_n < x(1)입니다. [c,1][c,1]에서 x(c)=0<vn<x(1)x(c) = 0 < v_n < x(1)이므로 중간값 정리에 의해 x(tn)=vnx(t_n) = v_n인 tn∈(c,1]t_n \in (c,1]이 존재합니다.

    이때 y(tn)=sin⁡(2πn+π/2)=1y(t_n) = \sin(2\pi n + \pi/2) = 1입니다. (tn)(t_n)의 모든 집적점 t∗∈[c,1]t^* \in [c,1]은 x(t∗)=lim⁡vn=0x(t^*) = \lim v_n = 0을 만족하므로 (c,1](c,1]에서 x>0x > 0인 데 의해 t∗=ct^* = c입니다 — 따라서 tn→ct_n \to c이고, 연속성에 의해 y(c)=lim⁡y(tn)=1y(c) = \lim y(t_n) = 1입니다.

  3. 마찬가지로 wn=12πn+3π/2w_n = \frac{1}{2\pi n + 3\pi/2}에 대해 x(sn)=wnx(s_n) = w_n인 sn∈(c,1]s_n \in (c,1]을 잡으면 y(sn)=sin⁡(2πn+3π/2)=−1y(s_n) = \sin(2\pi n + 3\pi/2) = -1이고 같은 논증으로 sn→cs_n \to c이므로 y(c)=−1y(c) = -1입니다. y(c)=1y(c) = 1과 모순되므로, 가정한 경로는 존재하지 않습니다.

    TT는 연결집합이지만 경로연결집합이 아닙니다.

5. 위상