축소사상 원리

축소사상 원리를 확인하는 씬입니다. 반복할수록 점들이 하나의 고정점으로 조여드는 모습을 봅니다.

축소사상은 모든 거리를 일정 비율로 줄입니다. 반복하면 점들이 서로에게 끌려갑니다. 시작점이 어디든 도착지는 하나입니다. 그런데 공간에 구멍이 있으면, 도착지가 그 구멍으로 빠질 수 있습니다.

예를 들면, 🗺️ 지도를 반으로 접고, 또 반으로 접어 보세요. 접을 때마다 종이는 작아지고 모든 점은 한 점으로 모입니다. 그 점이 고정점입니다. 종이 한가운데가 찢겨 있으면, 모여야 할 점이 사라집니다.

d(Tx,Ty)≤q d(x,y),0≤q<1d(Tx,Ty) \le q\,d(x,y), \quad 0 \le q < 1
d(xn,xm)≤qn1−q d(x0,x1),d(xn,x∗)≤qn1−q d(x1,x0)d(x_n,x_m) \le \frac{q^n}{1-q}\,d(x_0,x_1), \qquad d(x_n,x^*) \le \frac{q^n}{1-q}\,d(x_1,x_0)
T(x)=x/2 on (0,1]: contraction, no fixed pointT(x) = x/2 \text{ on } (0,1]: \text{ contraction, no fixed point}

이 씬이 포함된 학습 경로

예제

수축사상 TT (d(Tx,Ty)≤q d(x,y)d(Tx,Ty) \le q\,d(x,y), 0≤q<10 \le q < 1)의 피카르 반복 xn+1=Txnx_{n+1} = Tx_n에 대해 m>nm>n일 때 d(xn,xm)≤qn1−q d(x0,x1)d(x_n,x_m) \le \frac{q^n}{1-q}\,d(x_0,x_1)임을 보이고, (xn)(x_n)이 코시수열임을 증명하세요.

d(xk+1,xk+2)≤q d(xk,xk+1)≤qk+1 d(x0,x1)d(x_{k+1},x_{k+2}) \le q\,d(x_k,x_{k+1}) \le q^{k+1}\,d(x_0,x_1)
d(xn,xm)≤∑k=nm−1d(xk,xk+1)≤qn1−q d(x0,x1)d(x_n,x_m) \le \sum_{k=n}^{m-1} d(x_k,x_{k+1}) \le \frac{q^n}{1-q}\,d(x_0,x_1)
n=8n=8: 코시 꼬리 상한 2−8≈0.00392^{-8} \approx 0.0039 — m>8m>8인 모든 xmx_m이 이 안에 들어옵니다.
증명 보기

  1. 먼저 q∈[0,1)q \in [0, 1)이라 둡니다: 거리는 항상 ≥0\ge 0이므로 수축상수 qq는 거리들의 비로서 q≥0q \ge 0으로 잡을 수 있습니다 (q<0q < 0이면 d(Tx,Ty)≤q d(x,y)≤0d(Tx,Ty) \le q\,d(x,y) \le 0이라 모든 TxTx가 같아져 자명해지고, 아래에서 qq를 곱하는 귀납법과 기하급수 꼬리 공식이 부호 때문에 깨집니다). 한 걸음씩 조입니다: d(xk+1,xk+2)=d(Txk,Txk+1)≤q d(xk,xk+1)d(x_{k+1},x_{k+2}) = d(Tx_k,Tx_{k+1}) \le q\,d(x_k,x_{k+1})이므로, q≥0q \ge 0인 덕분에 부등식 방향이 유지되어 귀납법으로 모든 kk에 대해 d(xk,xk+1)≤qk d(x0,x1)d(x_k,x_{k+1}) \le q^k\,d(x_0,x_1)입니다.

  2. m>nm>n이면 삼각부등식을 연달아 적용해 d(xn,xm)≤∑k=nm−1d(xk,xk+1)≤(∑k=nm−1qk)d(x0,x1)d(x_n,x_m) \le \sum_{k=n}^{m-1} d(x_k,x_{k+1}) \le \left(\sum_{k=n}^{m-1} q^k\right) d(x_0,x_1)입니다. 합을 ∞\infty까지 늘리면 기하급수 꼬리 ∑k=n∞qk=qn1−q\sum_{k=n}^{\infty} q^k = \frac{q^n}{1-q}가 나오므로 d(xn,xm)≤qn1−q d(x0,x1)d(x_n,x_m) \le \frac{q^n}{1-q}\,d(x_0,x_1)입니다.

  3. 우변은 mm과 무관하게 n→∞n \to \infty일 때 00으로 가므로 (xn)(x_n)은 코시수열입니다. q=1/2q = 1/2, x0=1x_0 = 1이면 d(x1,x0)=1/2d(x_1,x_0) = 1/2이므로 상한은 2−n2^{-n}이 되고, n=8n = 8에서 1256≈0.0039\frac{1}{256} \approx 0.0039 — 캡션의 수치와 일치합니다.

T(x)=x/2T(x) = x/2가 (0,1](0,1] 위에서 q=1/2q = 1/2인 수축사상이지만, (0,1](0,1] 안에는 고정점이 없음을 보이세요.

완비성이 왜 필수적인지 설명합니다.

∣T(x)−T(y)∣=12∣x−y∣,T((0,1])⊂(0,1]|T(x) - T(y)| = \tfrac12|x - y|, \qquad T\big((0,1]\big) \subset (0,1]
x0=1⇒xn=2−n→0∉(0,1]x_0 = 1 \Rightarrow x_n = 2^{-n} \to 0 \notin (0,1]
n=8n=8: x8=2−8≈0.0039x_8 = 2^{-8} \approx 0.0039 — 반복값이 빠져 있는 극한 00으로 빨려듭니다.
증명 보기

  1. ∣T(x)−T(y)∣=∣x2−y2∣=12∣x−y∣|T(x) - T(y)| = \left|\frac{x}{2} - \frac{y}{2}\right| = \frac12|x - y|이므로 TT는 q=1/2q = 1/2인 수축사상입니다. 또한 x∈(0,1]x \in (0,1]이면 T(x)=x/2∈(0,1/2]⊂(0,1]T(x) = x/2 \in (0, 1/2] \subset (0,1]이므로 TT는 (0,1](0,1]을 자기 자신으로 보냅니다.

  2. 고정점은 x=x/2x = x/2, 즉 x=0x = 0을 만족해야 하지만 0∉(0,1]0 \notin (0,1]입니다. 따라서 TT는 (0,1](0,1] 안에 고정점을 하나도 갖지 않습니다.

  3. x0=1x_0 = 1에서 시작하면 xn=2−nx_n = 2^{-n}: 1,12,14,…1, \frac12, \frac14, \dots입니다.

    이 수열은 첫 번째 문제의 기하 상한을 만족하므로 코시수열이지만, 그 극한 00은 공간 밖에 있습니다.

    완비성이 빠지면 코시수열이 "도착할 곳"을 잃고 정리 전체가 무너집니다 — n=8n = 8에서 x8=1256≈0.0039x_8 = \frac{1}{256} \approx 0.0039로, 캡션의 수치와 일치합니다.

완비 거리공간에서 수축사상의 고정점 x∗x^*에 대해 오차 상한 d(xn,x∗)≤qn1−q d(x1,x0)d(x_n,x^*) \le \frac{q^n}{1-q}\,d(x_1,x_0)을 유도하고, 고정점이 최대 하나임을 증명하세요.

d(xn,x∗)=lim⁡m→∞d(xn,xm)≤qn1−q d(x1,x0)d(x_n,x^*) = \lim_{m \to \infty} d(x_n,x_m) \le \frac{q^n}{1-q}\,d(x_1,x_0)
d(x∗,y∗)=d(Tx∗,Ty∗)≤q d(x∗,y∗)⇒x∗=y∗d(x^*, y^*) = d(Tx^*, Ty^*) \le q\,d(x^*, y^*) \Rightarrow x^* = y^*
n=8n=8: ∣x8−2∣=1/256≈0.0039|x_8 - 2| = 1/256 \approx 0.0039 — 상한과 정확히 일치합니다.
증명 보기

  1. 완비성에 의해 코시수열 (xn)(x_n)은 공간 안의 점 x∗x^*로 수렴합니다. 수축사상은 d(Tx,Ty)≤q d(x,y)d(Tx,Ty) \le q\,d(x,y)이므로 연속이고, 따라서 Tx∗=T(lim⁡xn)=lim⁡Txn=lim⁡xn+1=x∗Tx^* = T(\lim x_n) = \lim Tx_n = \lim x_{n+1} = x^* — x∗x^*는 고정점입니다.

  2. 극한을 취하는 근거: 거리함수는 연속입니다 — 역삼각부등식에 의해 ∣d(xn,xm)−d(xn,x∗)∣≤d(xm,x∗)→0\lvert d(x_n,x_m) - d(x_n,x^*)\rvert \le d(x_m, x^*) \to 0 (m→∞m \to \infty)이므로 d(xn,xm)→d(xn,x∗)d(x_n,x_m) \to d(x_n,x^*)입니다.

    따라서 첫 번째 문제의 부등식에서 m→∞m \to \infty으로 보내면 (d(x1,x0)=d(x0,x1)d(x_1,x_0) = d(x_0,x_1)이므로) 오차 상한 d(xn,x∗)≤qn1−q d(x1,x0)d(x_n,x^*) \le \frac{q^n}{1-q}\,d(x_1,x_0)을 얻습니다.

    T(x)=x/2+1T(x) = x/2 + 1, q=1/2q = 1/2, x0=1x_0 = 1이면 상한은 (1/2)81/2⋅12=1256≈0.0039\frac{(1/2)^8}{1/2}\cdot\frac12 = \frac{1}{256} \approx 0.0039이고, 실제 반복값 x8=2−2−8=1.99609375x_8 = 2 - 2^{-8} = 1.99609375는 오차 ∣x8−2∣=1256|x_8 - 2| = \frac{1}{256}으로 상한과 정확히 일치합니다.

  3. 유일성: x∗x^*, y∗y^*가 모두 고정점이라 가정하면 d(x∗,y∗)=d(Tx∗,Ty∗)≤q d(x∗,y∗)d(x^*, y^*) = d(Tx^*, Ty^*) \le q\,d(x^*, y^*)입니다. q<1q < 1이므로 d(x∗,y∗)=0d(x^*, y^*) = 0, 즉 x∗=y∗x^* = y^*를 강제합니다.

5. 위상