아르첼라-아스콜리 정리

상대 컴팩트이면 완전 유계입니다: 임의의 $\varepsilon > 0$에 대해 폐포 $\overline{F}$의 유한 $\varepsilon/3$-net $\{g_1, \dots, g_m\}$이 존재합니다.

즉 모든 $f \in F$에 대해 $\lVert f - g_j \rVert_\infty < \varepsilon/3$인 $g_j$가 있습니다.

$g_j$는 $F$에 속하지 않아도 됩니다 — 연속이기만 하면 됩니다.

각 $g_j$는 컴팩트 거리공간 $K$ 위에서 연속이므로 균등연속입니다 (Heine–Cantor): $d(x, y) < \delta_j$이면 $\lvert g_j(x) - g_j(y) \rvert < \varepsilon/3$인 $\delta_j > 0$이 존재합니다. $\delta = \min_j \delta_j > 0$으로 둡니다 — 이 $\delta$는 $f$에 의존하지 않습니다.

이제 $f \in F$와 $d(x, y) < \delta$인 $x, y$를 봅니다.

$\lVert f - g_j \rVert_\infty < \varepsilon/3$인 $g_j$를 고르면 삼각부등식으로 $\lvert f(x) - f(y) \rvert \le \lvert f(x) - g_j(x) \rvert + \lvert g_j(x) - g_j(y) \rvert + \lvert g_j(y) - f(y) \rvert < \varepsilon/3 + \varepsilon/3 + \varepsilon/3 = \varepsilon$입니다.

$\delta$가 모든 $f \in F$에 공통이므로 $F$는 등연속입니다.

덧붙여 상대 컴팩트는 균등 유계를 줍니다 (유계 집합의 폐포는 유계): $M = \sup_{f \in F} \lVert f \rVert_\infty < \infty$. 역으로 컴팩트 $K$ 위에서는 점별 유계 + 등연속이면 균등 유계가 따라옵니다: $\varepsilon = 1$에 대한 등연속 $\delta$로 $K$를 유한 $\delta$-net $\{y_1, \dots, y_r\}$로 덮으면, 각 $x$는 어떤 $y_i$에 $\delta$-근접하므로 $\lvert f(x) \rvert \le \lvert f(y_i) \rvert + 1 \le \max_i \sup_f \lvert f(y_i) \rvert + 1$입니다.

컴팩트 거리공간은 가분입니다 (각 $r$에 대한 유한 $1/r$-net의 합집합).

이제 수열 $(f_n)$을 봅니다.

각 $k$에 대해 수열 $(f_n(x_k))_n$은 $[-M, M]$에 갇힌 실수 수열이므로, Bolzano–Weierstrass 정리로 수렴하는 부분수열을 가집니다.

중첩된 지표 수열을 만듭니다: $n^{(1)}_1 < n^{(1)}_2 < \cdots$에서 $f_{n^{(1)}_j}(x_1)$이 수렴하도록 고르고, 귀납적으로 $n^{(k)}$를 $n^{(k-1)}$의 부분수열이면서 $f_{n^{(k)}_j}(x_k)$가 수렴하도록 고릅니다. $k$를 고정하면 $n^{(k)}$ 이후의 모든 단계는 그 부분수열이므로, $x_1, \dots, x_k$에서의 수렴이 유지됩니다.

대각선 $m_j = n^{(j)}_j$를 둡니다. 먼저 $(m_j)$는 엄격증가 수열입니다: $n^{(j+1)}$이 $n^{(j)}$의 부분수열이므로 엄격증가 사상 $\sigma^{(j)}: \mathbb{N} \to \mathbb{N}$에 대해 $n^{(j+1)}_i = n^{(j)}_{\sigma^{(j)}(i)}$라 쓰면, $m_{j+1} = n^{(j+1)}_{j+1} = n^{(j)}_{\sigma^{(j)}(j+1)} > n^{(j)}_j = m_j$입니다 (단 $\sigma^{(j)}(j+1) \ge j+1 > j$ — 엄격증가 사상은 $\sigma(i) \ge i$를 만족하고, 항등 세분화에서는 등호가 됩니다).

$k$를 고정합니다.

$j \ge k$인 각 $j$에 대해 $m_j = n^{(j)}_j$는 $(n^{(k)}_i)$의 항이므로 $m_j = n^{(k)}_{i_j}$인 $i_j$가 존재합니다.

중첩 합성 $\psi_k(j) = \sigma^{(k)} \circ \cdots \circ \sigma^{(j-1)}(j)$에 대해 $i_j = \psi_k(j)$이고, 엄격증가 합성은 엄격증가를 보존하므로 지표 부등식 $i_{j+1} = \psi_k(j+1) > \psi_k(j) = i_j$를 얻습니다.

따라서 꼬리 $(m_j)_{j \ge k} = (n^{(k)}_{i_j})_{j \ge k}$는 $(n^{(k)}_i)$의 부분수열이고, $f_{m_j}(x_k)$는 수렴 수열 $(f_{n^{(k)}_i}(x_k))_i$의 부분수열이므로 수렴합니다.

$k$가 임의였으므로 $(f_{m_j})$는 모든 $x_k$에서 수렴합니다 — 조밀 집합 위의 점별 수렴입니다.

주의: 여기서는 점별 유계만 썼습니다. 이 점별 수렴을 $K$ 전체에서의 균등수렴으로 끌어올리는 것이 등연속의 역할이며, 다음 문제에서 $\varepsilon/3$ 논증으로 수행합니다.

$\varepsilon > 0$이 주어지면 등연속성에서 $\delta > 0$을 얻습니다: $d(x, y) < \delta$이면 모든 $n$에 대해 $\lvert f_n(x) - f_n(y) \rvert < \varepsilon/3$. $K$가 컴팩트이므로 조밀 집합 $\{x_k\}$ 중에서 유한 $\delta$-net $x_{k_1}, \dots, x_{k_r}$을 뽑을 수 있습니다.

유한 개의 점 $x_{k_i}$에서는 $(f_n)$ 자체의 점별 수렴이 "균등"해집니다: 각 $i$마다 $(f_n(x_{k_i}))$가 수렴하므로 Cauchy이고, $N$을 크게 잡아 $p, q \ge N$이면 모든 $i$에 대해 $\lvert f_p(x_{k_i}) - f_q(x_{k_i}) \rvert < \varepsilon/3$이 되도록 합니다 (유한 교집합).

임의의 $x \in K$에 대해 $d(x, x_{k_i}) < \delta$인 $x_{k_i}$를 고릅니다.

삼각부등식: $p, q \ge N$이면 $\lvert f_p(x) - f_q(x) \rvert \le \lvert f_p(x) - f_p(x_{k_i}) \rvert + \lvert f_p(x_{k_i}) - f_q(x_{k_i}) \rvert + \lvert f_q(x_{k_i}) - f_q(x) \rvert < \varepsilon/3 + \varepsilon/3 + \varepsilon/3 = \varepsilon$입니다.

따라서 $(f_n)$ 자체가 균등 Cauchy이므로, $C(K)$의 완비성에 의해 $(f_n)$이 균등수렴합니다.

이로써 ($\Longleftarrow$)가 완성됩니다: 점별 유계 + 등연속이면 (앞 문제의 언급대로) 균등 유계입니다.

또 임의의 수열에 앞 문제의 대각선 추출을 적용하면 조밀 집합 위에서 수렴하는 부분수열을 얻고, 위의 1–3단계를 그 부분수열에 적용하면 그 부분수열이 균등수렴합니다.

따라서 모든 수열이 균등수렴 부분수열을 가지므로, 거리공간에서의 순차 컴팩트성에 의해 집합은 상대 컴팩트입니다.

따름정리: $(x^n)$은 $[0,1]$에서 균등수렴하는 부분수열을 갖지 않습니다.

점별 극한은 $[0,1)$에서 0, $x = 1$에서 1로 불연속입니다.

만약 어떤 부분수열이 균등수렴했다면 그 극한은 연속함수들의 균등 극한이므로 연속이어야 하고, 점별 극한과 일치해야 하므로 모순입니다.

즉 $\{x^n\}$은 $x = 1$에서 등연속이 아니고 완전 유계도 아닙니다: 부분수열 $x^{4^k}$는 $7/16$-분리되어 있습니다 — $a = 4^k < 4^\ell = b$이면 증인점 $x = 2^{-1/a}$에서 $x^a = 1/2$이고 $x^b = 2^{-b/a} \le 2^{-4} = 1/16$이므로 $\lVert x^a - x^b \rVert_\infty \ge 1/2 - 1/16 = 7/16 = 0.4375 \ge 0.4$입니다.

(모든 서로 다른 쌍이 이렇게 떨어져 있는 것은 아닙니다: $\lVert x - x^2 \rVert_\infty = 1/4$입니다.)