6. 근사

연속함수를 다항식으로, 함수족을 균등수렴으로 — 근사 이론의 핵심 정리들입니다.

• 아르첼라-아스콜리 정리 — 연속함수 무리에서 균등수렴하는 부분수열을 뽑을 수 있는지를 봅니다. 조건은 두 가지입니다. 첫째, 모든 함수가 하나의 📦 상자 안에 갇혀야 합니다. 둘째, 모든 함수가 비슷하게 완만히 흔들려야 합니다. 유리점에서 하나씩 뽑는 대각선 논증을 씁니다. 그러면 전체 구간에서 한꺼번에 가까워지는 부분수열이 나옵니다. 거듭제곱 함수열은 1 근처에서 갑자기 가팔라져 둘째 조건이 깨집니다. 예를 들면, 🧑 친구 30명이 운동장을 걷는 모습을 떠올려 보세요. 전원이 울타리 안에 머물러야 해요. 아무도 갑자기 뛰어서도 안 돼요. 그러면 걸음걸이가 점점 닮아가는 그룹을 뽑을 수 있어요. 한 명이 끝에서 갑자기 질주하면 그 그룹은 만들 수 없습니다.
• 바이어슈트라스 근사정리 — 구간의 모든 연속함수를 다항식만으로 흉내 낼 수 있는지를 봅니다. 번스타인 다항식은 각 점 근처에서 함숫값들을 평균한 것입니다. 차수를 키우면 평균의 무게가 그 점 가까이에 몰립니다. 그래서 울퉁불퉁한 구석까지 다항식이 따라갑니다. 증명의 세부 추정은 아이디어만 봅니다. 예를 들면, 비탈길을 🪜 계단으로 바꾸는 것과 비슷해요. 계단 칸을 잘게 쪼갤수록 어느 지점에서 재도 비탈과 차이가 거의 없어요. 다항식도 차수를 올릴수록 함수 전체에 한꺼번에 붙습니다.
• 스톤-바이어슈트라스 정리 — 다항식이 아닌 재료로도 모든 연속함수를 근사할 수 있는지를 봅니다. 재료 집합에 필요한 것은 세 가지입니다. 덧셈과 곱셈에 닫혀 있을 것. 서로 다른 두 점을 구별할 수 있을 것. 상수를 품을 것. 이 조건만 갖추면 어떤 연속함수든 원하는 만큼 따라갑니다. 예를 들면, 둥근 파도들을 겹치고 겹치면 뾰족한 🏠 지붕 모양도 만들 수 있어요. 이 장면에서는 원 위에서 삼각함수 파도들이 삼각파에 붙는 모습을 확인합니다.
• 뮌츠-서스 정리 — 거듭제곱 재료 몇 개를 빼먹어도 근사가 여전히 되는지를 봅니다. 기준은 지수들의 역수 합입니다. 그 합이 끝없이 커지면 재료가 충분히 촘촘합니다. 합이 유한하면 영원히 닿지 못하는 함수가 남습니다. 장면에서는 제곱근 함수를 최소제곱으로 맞추며 두 재료의 오차를 견줍니다. 예를 들면, 📏 자로 길이를 재는 것과 같아요. 눈금이 촘촘히 끝없이 이어지면 어떤 길이든 가깝게 잴 수 있어요. 눈금이 1, 4, 9처럼 듬성하면 영원히 못 재는 길이가 남습니다.