스톤-바이어슈트라스 정리

부분대수: $e^{ik\theta}$들의 유한 선형결합들의 집합 $\mathcal{T}$는 선형공간이며, 두 원소의 곱은 $e^{ik\theta} e^{im\theta} = e^{i(k+m)\theta}$이므로 다시 $\mathcal{T}$에 속합니다. 실수 계수 형태 $\sum_{k=0}^n (a_k \cos k\theta + b_k \sin k\theta)$에서는 삼각함수 곱셈 공식(예: $\cos A \cos B = \tfrac12(\cos(A-B) + \cos(A+B))$)이 같은 역할을 합니다.

따라서 $\mathcal{T}$는 곱셈에 닫힌 부분대수입니다.

상수 포함: $k = 0$ 항 $c_0 e^{i0\theta} = c_0$이 임의의 상수를 만들므로, $\mathcal{T}$는 모든 상수함수를 포함합니다.

켤레 닫힘 (복소 Stone–Weierstrass 가설): $\overline{e^{ik\theta}} = e^{-ik\theta}$이며, $-k$도 지수 범위에 들어 있으므로 켤레도 $\mathcal{T}$에 속합니다 — $\mathcal{T}$는 켤레 연산에 닫혀 있습니다. 또한 $\cos\theta$와 $\sin\theta$가 $\mathcal{T}$에 속함을 가정하지 않고 도출합니다: $\cos\theta = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2} \in \mathcal{T}$이고 $\sin\theta = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i} \in \mathcal{T}$입니다 (둘 다 지수함수들의 선형결합).

점 분리: $\theta_1 \ne \theta_2 \pmod{2\pi}$이라 하자. $\cos$와 $\sin$이 모두 같은 값을 가지면 $e^{i\theta_1} = \cos\theta_1 + i\sin\theta_1 = \cos\theta_2 + i\sin\theta_2 = e^{i\theta_2}$가 되어 $\theta_1 = \theta_2 \pmod{2\pi}$가 되므로 모순입니다.

따라서 $u(\theta) = \cos\theta \in \mathcal{T}$ 또는 $u(\theta) = \sin\theta \in \mathcal{T}$ 중 적어도 하나가 $\theta_1$과 $\theta_2$에서 다른 값을 가지며, 이는 $\mathcal{T}$가 점을 분리한다는 뜻입니다.

수치 확인 (차수 $n = 8$): 계수 항등식 $a_k = \frac{2}{\pi}\frac{(-1)^k - 1}{k^2}$에 의해 짝수 $k$는 사라지고 홀수 $k$만 $-\frac{4}{\pi k^2}$로 기여하므로, $S_8(x) = \frac{\pi}{2} - \frac{4}{\pi}\sum_{\text{odd } k \le 8} \frac{\cos(kx)}{k^2}$가 삼각다항식입니다. 400점 격자 위의 균등오차는 $0.0792$로 캡션과 일치하며, $n = 40$에서는 $0.0159$까지 떨어집니다.

가설 확인: $K$는 콤팩트하다고 가정합니다 (Stone–Weierstrass 맥락) — 따라서 연속함수 $f$는 $K$ 위에서 유계이고 $M := \lVert f\rVert_\infty < \infty$입니다. 절대값 함수 $t \mapsto |t|$는 $[-M, M]$ 위의 연속함수이므로, 바이어슈트라스 근사 정리(앞의 씬)에 의해 다항식 수열 $q_k$가 있어 $q_k \to |t|$로 $[-M, M]$ 위에서 균등수렴합니다.

이제 $p_k(t) := q_k(t) - q_k(0)$이라 둡니다. 그러면 $p_k(0) = 0$이고, $q_k(0) \to |0| = 0$이므로 $\lVert p_k - |t|\rVert \le \lVert q_k - |t|\rVert + |q_k(0)| \to 0$입니다 — 즉 $p_k \to |t|$도 $[-M, M]$ 위에서 균등수렴합니다.

$p_k(0) = 0$이므로 $p_k$는 상수항이 없는 다항식입니다: $p_k(t) = \sum_{j \ge 1} a_{kj} t^j$. 따라서 합성 $p_k \circ f = \sum_{j \ge 1} a_{kj} f^j$는 $\mathcal{A}$에 속합니다 — $\mathcal{A}$가 대수(곱셈·합·스칼라곱에 닫힌 부분공간)라서 $f$의 거듭제곱과 그 선형결합이 모두 $\mathcal{A}$에 있기 때문입니다. ($\mathcal{A}$가 단위원 $1$을 포함한다고 가정하지 않았으므로 상수항을 제거하는 이 단계가 필수적입니다.)

$f(K) \subset [-M, M]$이므로, $p_k \to |t|$의 $[-M, M]$ 위 균등수렴은 $p_k \circ f \to |f|$의 $K$ 위 균등수렴을 함의합니다.

$\mathcal{A}$가 균등 폐쇄이므로 균등 극한 $|f|$도 $\mathcal{A}$에 속합니다. 이제 $f - g \in \mathcal{A}$이면 $|f - g| \in \mathcal{A}$이므로, 항등식 $\max(f,g) = \frac{f+g+|f-g|}{2}$와 $\min(f,g) = \frac{f+g-|f-g|}{2}$에 의해 $\max(f,g), \min(f,g) \in \mathcal{A}$입니다 — 균등 폐쇄 대수는 격자(lattice)입니다.

해설: $p_k \circ f$ 단계에서 $\mathcal{A}$가 대수라는 가정이 필수적입니다 — $f$의 거듭제곱을 만드는 데 쓰입니다. 격자 성질은 아래 조밀성 논증에서 $\min$과 $\max$으로 근사식을 다듬을 때 사용됩니다.

균등 폐포 $\overline{\mathcal{A}}$는 균등 폐쇄인 대수이며, 점을 분리하고 상수를 포함합니다. 대수임의 확인: $f_n \to f$, $g_n \to g$가 $K$ 위에서 균등수렴하면 수렴수열은 균등 유계이므로 ($\lVert f_n\rVert, \lVert g_n\rVert$가 어떤 상수 이하), $\lVert f_n g_n - fg\rVert \le \lVert f_n\rVert \lVert g_n - g\rVert + \lVert g\rVert \lVert f_n - f\rVert \to 0$입니다 — 따라서 $fg \in \overline{\mathcal{A}}$입니다.

($C(K)$ 전체에서는 곱셈이 전역적으로 균등연속이 아니므로, 이 유계성 단계가 필요합니다.) 아래의 (b)–(c) 격자 단계는 $\mathcal{A}$가 아니라 $\overline{\mathcal{A}}$ 안에서 수행합니다 (절댓값 보조정리를 균등 폐쇄 대수 $\overline{\mathcal{A}}$에 적용). $\overline{\mathcal{A}}$가 $C(K, \mathbb{R})$에서 조밀함을 보이면 $\mathcal{A}$의 조밀성이 따라옵니다.

(a) 두 점 보간: $f \in C(K, \mathbb{R})$와 $\varepsilon > 0$을 고정합니다. 서로 다른 $x, y \in K$에 대해, 점 분리 가정에 의해 $u(x) \ne u(y)$인 $u \in \mathcal{A}$가 존재합니다.

연립방정식 $\begin{pmatrix} u(x) & 1 \\ u(y) & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} f(x) \\ f(y) \end{pmatrix}$의 행렬식은 $u(x) - u(y) \ne 0$이므로 유일한 해 $(a, b)$가 존재하고, $g_{xy} := au + b \in \mathcal{A}$는 $g_{xy}(x) = f(x)$, $g_{xy}(y) = f(y)$를 만족합니다 ($b$ 항은 상수 포함 가정으로 $\mathcal{A}$에 있음). $x = y$일 때는 상수함수 $f(x)$를 취합니다.

(b) 위에서 누르기 ($\varepsilon/2$ 여유 사용): $x$를 고정합니다. 각 $y \in K$에 대해 집합 $U_y := \{z : g_{xy}(z) < f(z) + \varepsilon/2\}$는 $g_{xy}$와 $f$의 연속성에 의해 열린집합이며, $g_{xy}(y) = f(y)$이므로 $y \in U_y$입니다. 따라서 $\{U_y : y \in K\}$는 콤팩트 집합 $K$의 열린 덮개이므로, 유한 부분덮개 $U_{y_1}, \dots, U_{y_m}$이 존재합니다.

양자화 주의: $g_{xy_j} < f + \varepsilon/2$는 $K$ 전체가 아니라 $U_{y_j}$ 위에서만 성립합니다. 그러나 각 $z \in K$마다 $z \in U_{y_j}$인 $j$가 존재하므로 그 $j$에서 $g_{xy_j}(z) < f(z) + \varepsilon/2$이고, 따라서 $g_x(z) := \min_j g_{xy_j}(z) \le g_{xy_j}(z) < f(z) + \varepsilon/2$가 모든 $z$에서 점별로 성립합니다. 앞 문제의 격자 성질을 $\overline{\mathcal{A}}$에 적용하면 $g_x = \min_j g_{xy_j} \in \overline{\mathcal{A}}$입니다. 또한 모든 $j$에서 $g_{xy_j}(x) = f(x)$이므로 $g_x(x) = f(x)$입니다.

(c) 아래에서 올리기: 각 $x \in K$에 대해 $V_x := \{z : g_x(z) > f(z) - \varepsilon\}$는 열린집합이며, $g_x(x) = f(x)$이므로 $x \in V_x$입니다. $\{V_x\}$는 $K$의 열린 덮개이므로 유한 부분덮개 $V_{x_1}, \dots, V_{x_l}$이 존재합니다.

$h := \max_i g_{x_i} \in \overline{\mathcal{A}}$ ($\overline{\mathcal{A}}$에서의 격자 성질)라 두면, 모든 $z \in K$에 대해 $z \in V_{x_i}$인 $i$가 있어 $h(z) \ge g_{x_i}(z) > f(z) - \varepsilon$이며, (b)의 $\varepsilon/2$ 여유에서 $g_{x_i} \le f + \varepsilon/2$이므로 $h \le f + \varepsilon/2 < f + \varepsilon$입니다. 즉 $f - \varepsilon < h < f + \varepsilon$가 $K$ 위에서 성립하며 $h \in \overline{\mathcal{A}}$입니다.

$\varepsilon > 0$이 임의였으므로 $f \in \overline{\mathcal{A}}$입니다. $f \in C(K, \mathbb{R})$도 임의였으므로 $\overline{\mathcal{A}} = C(K, \mathbb{R})$ — $\mathcal{A}$는 균등 조밀합니다.

수치 확인: $f(x) = |x|$, 삼각다항식 $\mathcal{T}$에 대해 차수 $n = 25$에서 $\lVert S_{25} - f\rVert_\infty \approx 0.0245$로 캡션과 일치하며, 차수를 올리면 이 오차가 0으로 갑니다 ($n = 40$에서 $0.0159$).