바이어슈트라스 근사정리

구간의 모든 연속함수를 다항식만으로 흉내 낼 수 있는지를 봅니다.

번스타인 다항식은 각 점 근처에서 함숫값들을 평균한 것입니다. 차수를 키우면 평균의 무게가 그 점 가까이에 몰립니다. 그래서 울퉁불퉁한 구석까지 다항식이 따라갑니다. 증명의 세부 추정은 아이디어만 봅니다.

예를 들면, 비탈길을 🪜 계단으로 바꾸는 것과 비슷해요. 계단 칸을 잘게 쪼갤수록 어느 지점에서 재도 비탈과 차이가 거의 없어요. 다항식도 차수를 올릴수록 함수 전체에 한꺼번에 붙습니다.

Bn(f)(x)=∑k=0nf ⁣(kn)(nk)xk(1−x)n−kB_n(f)(x) = \sum_{k=0}^{n} f\!\left(\frac{k}{n}\right) \binom{n}{k} x^k (1-x)^{n-k}
f∈C[0,1]  ⟹  ∥Bn(f)−f∥∞→0f \in C[0,1] \implies \|B_n(f) - f\|_\infty \to 0

이 씬이 포함된 학습 경로

예제

Bn(1)=1B_n(1) = 1을 증명하세요 — 상수함수는 정확히 재현됩니다.

Bn(1)(x)=∑k=0n(nk)xk(1−x)n−k=(x+(1−x))n=1B_n(1)(x) = \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}x^k(1-x)^{n-k} = (x+(1-x))^n = 1
상수함수 1 — 근사가 원본과 완전히 겹친다.
증명 보기

  1. f≡1f \equiv 1이므로 f(k/n)=1f(k/n) = 1입니다. 따라서 Bn(1)(x)=∑k=0n(nk)xk(1−x)n−kB_n(1)(x) = \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}x^k(1-x)^{n-k} — 기저들의 합 자체입니다.

  2. 이항정리로 ∑k=0n(nk)xk(1−x)n−k=(x+(1−x))n=1n=1\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}x^k(1-x)^{n-k} = (x + (1-x))^n = 1^n = 1입니다.

  3. 따라서 모든 xx와 모든 nn에 대해 Bn(1)(x)=1B_n(1)(x) = 1 — 오차가 0입니다. 상수함수는 "근사"되는 게 아니라 정확히 재현됩니다.

n≥1n \ge 1에 대해 Bn(x)=xB_n(x) = x를 증명하세요.

∑k=0nkn(nk)xk(1−x)n−k=x\sum_{k=0}^{n}\frac{k}{n}\binom{n}{k}x^k(1-x)^{n-k} = x
항등함수 — 역시 정확히 재현.
증명 보기

  1. 설정: 정수 n≥1n \ge 1을 고정합니다 (n=0n = 0이면 f(k/n)f(k/n)의 나눗셈이 정의되지 않습니다). 목표 함수는 f(t)=tf(t) = t이므로 f(k/n)=k/nf(k/n) = k/n입니다.

    k≥1k \geq 1일 때 k(nk)=n(n−1k−1)k\binom{n}{k} = n\binom{n-1}{k-1}입니다 (k=0k = 0인 항은 kn=0\frac{k}{n} = 0이므로 사라집니다).

  2. 대입하면 Bn(x)(x)=∑k=1nkn(nk)xk(1−x)n−k=x∑j=0n−1(n−1j)xj(1−x)n−1−jB_n(x)(x) = \sum_{k=1}^{n}\frac{k}{n}\binom{n}{k}x^k(1-x)^{n-k} = x\sum_{j=0}^{n-1}\binom{n-1}{j}x^j(1-x)^{n-1-j}입니다 (j=k−1j = k-1로 치환).

  3. 이항정리로 안쪽 합은 (x+(1−x))n−1=1(x+(1-x))^{n-1} = 1이므로 Bn(x)(x)=xB_n(x)(x) = x — 항등함수도 모든 n≥1n \ge 1에서 정확히 재현됩니다.

연속함수들의 균등극한은 연속임을 증명하세요 (ε/3\varepsilon/3 논법).

∣f(x)−f(x0)∣≤∣f−fN∣+∣fN(x)−fN(x0)∣+∣fN−f∣<ε|f(x)-f(x_0)| \le |f-f_N| + |f_N(x)-f_N(x_0)| + |f_N-f| < \varepsilon
n=40n = 40 — 꺾인 점도 거의 따라잡는다.
증명 보기

  1. x0∈[a,b]x_0 \in [a,b]를 임의로 고정하고 ε>0\varepsilon > 0을 주어진 것으로 둡니다. fN→ff_N \to f가 균등수렴하므로, ∥fN−f∥∞<ε3\lVert f_N - f\rVert_\infty < \frac{\varepsilon}{3}을 만족하는 NN을 선택합니다.

  2. fNf_N이 x0x_0에서 연속이므로, ∣x−x0∣<δ\lvert x - x_0\rvert < \delta이면 ∣fN(x)−fN(x0)∣<ε3\lvert f_N(x) - f_N(x_0)\rvert < \frac{\varepsilon}{3}인 δ>0\delta > 0을 선택합니다.

  3. 삼각부등식으로 ∣f(x)−f(x0)∣≤∣f−fN∣+∣fN(x)−fN(x0)∣+∣fN−f∣<ε3+ε3+ε3=ε\lvert f(x) - f(x_0)\rvert \leq \lvert f - f_N\rvert + \lvert f_N(x) - f_N(x_0)\rvert + \lvert f_N - f\rvert < \frac{\varepsilon}{3} + \frac{\varepsilon}{3} + \frac{\varepsilon}{3} = \varepsilon — 따라서 ff는 x0x_0에서 연속입니다. x0∈[a,b]x_0 \in [a,b]는 임의였으므로 ff는 [a,b][a,b] 전체에서 연속입니다.

    (이것이 균일 노름 ∥⋅∥∞\lVert\cdot\rVert_\infty이 C[0,1]C[0,1]을 닫힌 공간으로 만드는 이유이기도 합니다.)

6. 근사