곡선의 길이

성분별로 미분합니다: $\gamma(t) = (R\cos t, R\sin t)$이므로 $\gamma'(t) = (-R\sin t, R\cos t)$입니다.

$\gamma$는 $C^1$ 곡선이므로 길이 공식 $L = \int_\alpha^\beta |\gamma'(t)|\,dt$를 적용할 수 있습니다.

속력(speed)은 상수입니다: $|\gamma'(t)| = \sqrt{(-R\sin t)^2 + (R\cos t)^2} = \sqrt{R^2\sin^2 t + R^2\cos^2 t} = R\sqrt{\sin^2 t + \cos^2 t} = R$ (단, $R > 0$).

피타고라스 항등식 $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$이 각도 의존성을 정확히 지워 줍니다.

적분하면 $L = \int_\alpha^\beta |\gamma'(t)|\,dt = \int_\alpha^\beta R\,dt = R(\beta - \alpha)$입니다.

즉 원호의 길이는 반지름에 중심각을 곱한 값입니다.

특수화: $R = 1$이고 $[\alpha, \beta] = [0, \pi/2]$이면 $L = 1 \cdot (\pi/2 - 0) = \pi/2$ — 씬의 사분원과 일치합니다.

온전한 원 $[\alpha, \beta] = [0, 2\pi]$이면 $L = R \cdot 2\pi = 2\pi R$, 익숙한 둘레 공식입니다.

먼저 점 하나만 삽입합니다. 구간 $[t_{i-1}, t_i]$ 안에 $s$ ($t_{i-1} < s < t_i$)를 넣으면, 그 구간의 기여도는 $|\gamma(t_i) - \gamma(t_{i-1})|$에서 $|\gamma(t_i) - \gamma(s)| + |\gamma(s) - \gamma(t_{i-1})|$로 바뀝니다. 다른 구간의 기여도는 그대로입니다.

$\mathbb{R}^2$의 삼각부등식 $|u + v| \le |u| + |v|$를 $u = \gamma(t_i) - \gamma(s)$, $v = \gamma(s) - \gamma(t_{i-1})$에 적용합니다. 그러면 $u + v = \gamma(t_i) - \gamma(t_{i-1})$이므로 $|\gamma(t_i) - \gamma(t_{i-1})| \le |\gamma(t_i) - \gamma(s)| + |\gamma(s) - \gamma(t_{i-1})|$입니다.

즉 새 기여도가 원래 기여도 이상이므로, 점 하나를 삽입해도 꺾은선 길이는 줄어들지 않습니다. 곧은 한 조각이 꺾인 두 조각보다 길 수 없기 때문입니다.

유한히 많은 점의 삽입에 대한 귀납법으로 일반화합니다. $P'$이 $P$의 세분이면 $P' \setminus P$의 점들을 하나씩 삽입해 $P$에서 $P'$에 도달할 수 있고, 각 단계마다 길이가 줄어들지 않으므로 $L(P) \le L(P')$입니다.

따라서 모든 분할 값은 상한 아래에 있습니다: 모든 $P$에 대해 $L(P) \le L := \sup_P L(P)$입니다 (상한의 정의 그 자체).

특히 균등 분할을 거듭 반으로 나누는 이분 세분에서는 삽입되는 점이 정확히 중간점들이므로 $L_n \le L_{2n} \le L_{4n} \le \cdots \le L$인 증가 수열이 됩니다. 씬의 $L_4 \approx 1.474280 < L_8 \approx 1.477778$이 이 단조성의 한 단면입니다.

점들을 계산합니다. $t_k = \frac{2}{\pi(2k+1)}$이면 $1/t_k = \pi(2k+1)/2 = \pi k + \pi/2$이므로 $\sin(1/t_k) = \sin(\pi k + \pi/2) = (-1)^k$이고, 따라서 $f(t_k) = t_k \sin(1/t_k) = (-1)^k t_k$입니다.

순서에 주의하세요: $k$가 커질수록 $t_k$는 작아지므로 $t_K < t_{K-1} < \cdots < t_0 = 2/\pi < 1$입니다. 분할에서는 이 점들을 증가하는 순서 $t_K < \cdots < t_0$로 넣고, 필요하면 $0$과 $1$도 더합니다 (점을 더하면 꺾은선 길이는 앞 문제에 의해 줄어들지 않습니다).

연속된 두 값은 부호가 반대입니다: $f(t_k) = (-1)^k t_k$와 $f(t_{k+1}) = (-1)^{k+1} t_{k+1}$이므로 $|f(t_k) - f(t_{k+1})| = t_k + t_{k+1} \ge t_k$입니다.

$[t_{k+1}, t_k]$ 위의 꺾은선 조각의 길이는 $\sqrt{(t_k - t_{k+1})^2 + (f(t_k) - f(t_{k+1}))^2} \ge |f(t_k) - f(t_{k+1})|$입니다 — 수직 낙차가 그 조각 길이의 하한이기 때문입니다.

$k = 0, \dots, K-1$에 대해 합산하면 $L \ge \sum_{k=0}^{K-1} (t_k + t_{k+1}) \ge \sum_{k=0}^{K-1} t_k = \sum_{k=0}^{K-1} \frac{2}{\pi(2k+1)}$입니다.

여기서 $\frac{2}{2k+1} \ge \frac{1}{k+1}$입니다 — 양변을 비교하면 $2k + 2 \ge 2k + 1$이기 때문입니다. 따라서 $L \ge \frac{1}{\pi}\sum_{k=0}^{K-1} \frac{1}{k+1} = \frac{1}{\pi} H_K$입니다.

조화합 $H_K = \sum_{k=0}^{K-1} \frac{1}{k+1}$은 $K \to \infty$일 때 발산합니다 (조화급수의 발산). $K$는 임의로 크게 잡을 수 있으므로, 어떤 유한한 수 $M$에 대해서도 $L \ge \frac{1}{\pi} H_K > M$인 분할이 존재합니다.

즉 $L = \sup_P L(P) = +\infty$입니다: 이 그래프는 길이를 잴 수 없습니다.

그런데 $f$는 $[0, 1]$에서 연속입니다 — $(0, 1]$에서는 연속함수들의 곱이고, $0$에서는 $|f(x)| \le x \to 0 = f(0)$이기 때문입니다. 연속성만으로는 유한한 길이가 보장되지 않습니다.