11. 적분

리만 적분에서 르베그 적분까지 — 적분의 개념이 어떻게 확장되는지 따라갑니다.

• 감마함수 — 팩토리얼을 실수까지 늘인 함수를 봅니다. 정수에서는 계단처럼 뛰던 값이 매끄러운 곡선이 됩니다. 핵심 규칙은 한 칸 밀면 그 칸의 수가 곱해진다는 것입니다. 이 규칙이 정수 사이 값을 채웁니다. 넓이로 정의되는 적분이 그 곡선을 만듭니다. 예를 들면, 🪜 계단이 1, 2, 6, 24처럼 점프하는 사이에 미끄럼틀 같은 곡선을 끼워 넣은 거예요. 이제 계단 사이의 높이도 잴 수 있어요.
• 베타 함수 — 두 지수 p와 q가 만드는 곡선 아래 넓이가 베타 함수입니다. 슬라이더로 곡선 모양이 바뀌는 것을 봅니다. 곡선은 양 끝에서 서로 다른 힘으로 당겨집니다. 그래서 봉우리의 위치와 높이가 달라집니다. 이 넓이는 감마함수들의 비율과 정확히 같습니다. 예를 들면, 🧵 줄의 양쪽 끝을 서로 다른 힘으로 당기면 가운데 볼록한 모양이 달라져요. 양 끝 힘을 조절하는 것이 p와 q의 역할이에요.
• 보어-몰레루프 정리 — 두 가지 규칙만으로는 팩토리얼의 확장 함수가 하나로 정해지지 않습니다. 정수마다 감마함수와 똑같은 가짜 함수가 살아남습니다. 가짜를 걸러내는 추가 조건이 로그볼록성입니다. 로그를 씌운 그래프가 볼록해야 진짜입니다. 현 테스트가 그 지문을 드러냅니다. 예를 들면, 🧑 친구의 키와 몸무게만으로는 그 친구인지 확정할 수 없어요. 지문까지 같아야 확실해요. 로그볼록성이 감마함수의 지문이에요.
• 이상적분 — 끝이 무한히 뻗거나 높이가 폭발하는 구간의 적분을 봅니다. 지수 p가 수렴과 발산을 가릅니다. 무한히 이어져도 넓이가 유한할 수 있습니다. 꼬리가 충분히 빨리 가늘어지면 됩니다. 너무 두꺼우면 넓이는 끝없이 쌓입니다. 예를 들면, 💧 물이 새는 양이 빠르게 줄어들면 영원히 새어도 전체 양은 한 바가지로 정해져요. 줄어드는 속도가 느리면 바가지는 결국 넘쳐요.
• 가브리엘의 나팔 — 곡선을 회전시켜 만든 나팔의 역설을 봅니다. 부피는 유한한데 겉넓이는 무한대입니다. 안에 채우는 양과 겉을 칠하는 양이 다르게 행동합니다. 얇아지는 속도가 두 계산에서 갈립니다. 그래서 한쪽은 멈추고 한쪽은 계속 자랍니다. 예를 들면, 🧵 줄을 말아 넣으면 작은 📦 상자에 다 들어가요. 하지만 그 줄을 전부 펴서 바닥에 깔면 끝없이 넓은 방이 필요해요.
• 리만합 스퀴즈 — 곡선 아래에 직사각형을 채워 넓이를 재는 씬입니다. 아래합과 위합이 진짜 넓이를 양쪽에서 조여옵니다. 낮게 채운 값과 높게 채운 값 사이에 답이 있습니다. 분할을 잘게 할수록 두 값의 틈이 좁혀집니다. 틈이 사라지면 그 값이 적분입니다. 예를 들면, 🍰 케이크의 곡선 모양을 네모난 조각들로 채우는 것과 같아요. 조각을 잘게 자를수록 빈틈이 줄고 모양에 딱 맞아요.
• 디리클레 함수 — 유리수에서만 1이고 무리수에서는 0인 함수입니다. 리만 적분이 실패하는 대표 반례입니다. 어느 작은 구간에도 유리수와 무리수가 함께 들어 있습니다. 그래서 위합은 항상 1에 머뭅니다. 아래합은 항상 0에 머물러 틈이 닫히지 않습니다. 예를 들면, 검은 ⚽ 공과 흰 공이 아무리 잘게 섞여 있어도, 어떤 무더기를 떠도 두 색이 다 들어 있는 것과 같아요. 그래서 높이를 하나로 정할 수 없어요.
• Volterra 함수 — 어디서나 미분가능하고 도함수도 유계인데, 그 도함수는 리만 적분이 안 되는 반례입니다. 팻 칸토어 집합 위에 혹들을 올립니다. 함수 자체는 매끄럽게 이어집니다. 문제는 도함수가 두꺼운 집합 위에서 심하게 출렁인다는 것입니다. 리만합은 그 출렁임을 잡아내지 못합니다. 예를 들면, 매끄러운 길 위를 📏 자로 기울기를 재는데, 자가 닿는 곳마다 값이 튀어 기록할 수 없는 것과 같아요. 길은 멀쩡한데 측정이 실패하는 거예요.
• 미적분 기본정리 — 넓이를 쌓는 함수의 기울기를 재는 씬입니다. 그 기울기가 원래 함수와 일치합니다. 넓이가 쌓이는 속도는 그 지점의 높이와 같습니다. 오른쪽 끝을 조금 밀면 그만큼의 띠가 붙습니다. 띠의 넓이는 높이 곱하기 이동 거리입니다. 예를 들면, 💧 물을 탱크에 채울 때 물이 차오르는 속도는 지금 나오는 물의 양과 같아요. 쌓인 양을 미분하면 나오는 양이 되는 거예요.
• 부분적분 — 곱의 미분법칙을 거꾸로 돌려 적분을 바꾸는 씬입니다. 면적을 두 조각으로 나누어 각각 계산합니다. 어려운 적분을 경계값과 쉬운 적분으로 바꿉니다. 넓이 그림에서는 큰 직사각형을 두 조각으로 나눈 것입니다. 양쪽 계산이 소수점 끝까지 일치합니다. 예를 들면, 🍰 케이크의 넓이를 잴 때 전체 네모에서 한 조각을 빼는 방식으로 바꾸면 계산이 쉬워지는 것과 같아요. 나눠서 재면 어려운 모양도 잴 수 있어요.
• 치환적분 — 축을 늘이고 줄여 적분 구간을 바꾸는 씬입니다. 서로 다른 두 치환이 같은 적분값으로 모입니다. 눈금을 바꾸면 구간의 끝점도 함께 바뀝니다. 늘어난 비율만큼 넓이를 보정해야 합니다. 보정이 끝나면 어려운 적분이 쉬운 적분이 됩니다. 예를 들면, 눈금이 2배로 늘어난 📏 자로 길이를 재면 잰 값도 2배가 돼요. 그래서 반으로 나눠 보정해야 진짜 길이가 나와요.
• 유계변동 함수 — 함수가 출렁인 총 거리를 재는 씬입니다. 그 합이 유한한 상한 안에 머물면 유계변동입니다. 출발점과 도착점만으로는 부족합니다. 중간에 오르내린 양을 전부 더해야 합니다. 단조함수는 출렁임이 한 방향뿐이라 통과합니다. 끝없이 떨리는 함수는 합이 폭발해 탈락합니다. 예를 들면, 🚗 자동차가 오르락내리락 달려도 주행 거리 총합이 정해져 있으면 유계변동이에요. 한자리에서 끝없이 떨면 거리가 무한히 쌓여요.
• 곡선의 길이 — 곡선을 곧은 조각들로 나눠 길이를 재는 씬입니다. 조각 길이들의 합이 꺾은선 길이입니다. 분할을 잘게 할수록 그 합은 커지기만 하고 진짜 길이에 아래에서 다가갑니다. 모든 분할에 대한 상한이 곡선의 길이입니다. 그 상한이 무한해지면 길이를 잴 수 없습니다. 예를 들면, 🧵 실을 굽은 길에 따라 깔고 조각조각 곧게 펴서 재는 것과 같아요. 잘게 나눌수록 실의 진짜 길이에 가까워져요.
• 리만-스틸체스 적분 — 구간의 길이가 아니라 적분자의 증가분으로 무게를 재는 적분입니다. 적분자를 바꾸면 같은 구간도 다르게 셉니다. 구간마다 무게가 다를 수 있습니다. 계단형 적분자는 한 점에 무게를 몰아넣습니다. 그 경우 적분은 그 점의 값 하나로 정해집니다. 예를 들면, 📦 상자마다 무게가 다른 짐을 합칠 때 개수가 아니라 무게로 합치는 것과 같아요. 한 상자에 무게가 몰리면 전체 합은 그 상자가 정해요.
• 조르당 분해 — 유계변동 함수를 두 증가함수의 차이로 나누는 씬입니다. 점을 움직이며 분해가 지점마다 성립하는 것을 확인합니다. 오른 양과 내린 양을 따로 기록합니다. 지금까지 오른 총합에서 내린 총합을 빼면 현재 높이가 됩니다. 변동함수가 오른 총합의 기록입니다. 예를 들면, 🐷 저금통에 넣은 💰 돈의 총합에서 꺼낸 돈의 총합을 빼면 지금 남은 돈이 되는 것과 같아요. 넣기와 빼기를 따로 세는 거예요.
• 르베그 측도 — 집합의 크기를 재는 가장 싼 덮개 값을 봅니다. 한 점은 물론 유리수 전체도 비용이 0으로 떨어집니다. 길이를 재는 규칙을 점이나 유리수 같은 집합까지 넓힙니다. 덮개들의 총 길이가 가장 작은 값을 찾습니다. 그 값이 집합의 크기 후보가 됩니다. 예를 들면, 🧵 줄 조각으로 어떤 집합을 덮을 때, 줄의 총 길이가 가장 짧은 덮개가 그 집합의 크기예요. 점 하나는 줄이 거의 없어도 덮여요.
• 비탈리 집합 — 선택공리로 각 무리에서 대표 하나씩을 뽑아 만든 집합입니다. 그 결과, 크기를 잴 수 없는 집합이 탄생합니다. 이 집합을 유리수만큼 밀어낸 복사본들이 구간을 덮습니다. 크기가 0이면 복사본의 합도 0이어야 합니다. 양수이면 합이 무한대가 됩니다. 둘 다 모순이라 크기를 정할 수 없습니다. 예를 들면, 📦 상자 하나를 복사해 늘어놓으면 방을 채우는데, 상자 크기가 0이면 합도 0이어야 하고 조금이라도 있으면 합이 끝없이 커지는 것과 같아요. 그래서 크기를 정할 수 없어요.
• 보렐-칸텔리 보조정리 — 길이의 총합이 유한하면, 무한히 자주 일어나는 일은 거의 일어나지 않습니다. 그 경계를 수치로 확인하는 씬입니다. 사건들이 겹치는 지점들을 모아 봅니다. 총 길이가 유한하면 겹침은 점점 희귀해집니다. 독립인 사건에서는 거꾸로도 성립합니다. 예를 들면, 💧 물방울이 점점 작아지는 비가 내려도, 방울 전체 양이 정해져 있으면 한 지점이 끝없이 맞는 일은 거의 없는 것과 같아요.
• 디리클레 vs 르벡 — 유리수를 하나씩 덮개로 덮으면 총 길이가 얼마든지 작아집니다. 리만 적분이 꼼짝 못하는 장면입니다. 유리수는 셀 수 있게 많습니다. 그래서 번호를 매겨 점점 작은 덮개를 씌울 수 있습니다. 덮개 크기의 합은 원하는 만큼 작아집니다. 예를 들면, 바닥에 흩어진 🍬 사탕을 하나씩 점점 작은 컵으로 덮으면, 컵 크기의 합을 얼마든지 작게 만들 수 있는 것과 같아요.
• 르벡 수렴 정리 — 극한과 적분의 순서를 바꾸는 세 가지 정리를 봅니다. 질량이 도망가는 예에서 각 조건이 왜 필요한지 확인합니다. 순서를 바꾸려면 질량이 새지 않아야 합니다. 위로 받쳐주는 함수가 있으면 안전합니다. 조건이 없으면 넓이가 극한에서 사라질 수 있습니다. 예를 들면, 💧 물을 컵에서 컵으로 옮길 때 새는 물이 없으면 전체 양이 그대로예요. 한 방울이 옆으로 튀면 옮긴 뒤의 양은 줄어들어요.
• 푸비니-토넬리 정리 — 이중적분에서 적분 순서를 바꿔도 같은 값이 나옵니다. 행부터 더하나 열부터 더하나 같습니다. 음이 아닌 함수에서는 항상 안전합니다. 적분 가능한 함수에서도 안전합니다. 적분 가능성이 없으면 두 순서가 갈라질 수 있습니다. 예를 들면, 📦 상자에 격자로 담긴 🍎 사과를 셀 때 가로줄로 세나 세로줄로 세나 개수는 똑같은 것과 같아요.
• 합성곱 — 한 함수를 뒤집어 밀면서 다른 함수와 겹치는 양을 재는 연산입니다. 지시함수 두 개를 겹치면 겹침의 길이가 텐트 모양 곡선이 됩니다. 매끄러운 핵과 합성곱하면 계단처럼 각진 함수도 부드러워집니다. 핵이 좁아질수록 부드러워진 함수는 원래 함수에 가까워집니다. 예를 들면, 📷 사진의 한 픽셀을 주변 픽셀들의 가중 평균으로 바꾸는 흐림 효과와 같아요. 가운데 픽셀에 가장 큰 가중치를 주는 거예요.
• 에고로프 정리 — 유한한 구간에서 점별 수렴은 거의 균등수렴입니다. 나쁜 집합을 작게 누르면 나머지는 고르게 수렴합니다. 수렴이 느린 지점은 작은 집합에 몰려 있습니다. 그 집합을 떼어내면 나머지는 한 속도로 수렴합니다. 전체 구간이 유한해야 이 정리가 성립합니다. 예를 들면, 🧑 친구 30명이 결승선에 거의 다 왔는데 한두 명이 느려도, 그 친구들을 빼면 나머지는 비슷한 속도로 들어오는 것과 같아요.
• 절대연속성 — 구간들의 총 길이가 0으로 가면 함수값 변화의 합도 0으로 가는 성질입니다. 칸토어 함수는 이 성질이 없는 연속함수입니다. 작은 입력 변화가 큰 출력을 만들 수 없어야 합니다. 이런 함수는 정확히 적분으로 만들어지는 함수입니다. 칸토어 함수는 평평한데도 0에서 1로 올라가 규칙을 깹니다. 예를 들면, 수도꼭지를 조금만 열면 💧 물도 조금만 나오는 것과 같아요. 칸토어 함수는 꼭지를 거의 안 열었는데 물이 한 바가지 나오는 이상한 수도예요.
• 적분기호 아래에서의 미분 — 적분기호 안에서 미분한 값이 곡선의 접선 기울기와 일치하는지 수치로 확인합니다. 곡선 위의 점과 접선을 직접 움직여 봅니다. 전체를 미분하나 안에서 미분하나 결과는 같습니다. 각 지점의 변화가 전체의 변화로 쌓이기 때문입니다. 지배 조건이 이 교환을 안전하게 만듭니다. 예를 들면, 🌡️ 온도계로 방의 평균 온도가 오르는 속도를 잴 때, 각 지점이 데워지는 속도를 평균 내도 같은 답이 나오는 것과 같아요.
• 민코프스키 부등식 — 두 함수의 합의 크기가 각 크기의 합을 넘지 않는다는 부등식입니다. 지수 p를 움직이면 두 막대 사이 틈새가 벌어졌다 좁아집니다. 이것은 삼각부등식을 함수로 옮긴 것입니다. 곧장 가는 길이 두 구간을 이어 가는 길보다 길 수 없습니다. p가 1이면 틈새가 완전히 닫힙니다. 예를 들면, 🚗 자동차가 두 번 꺾어 달린 거리는 한 번에 직선으로 잰 거리보다 짧을 수 없어요. 합친 움직임의 크기는 각 움직임 크기의 합을 넘지 않아요.