디리클레 vs 르벡

유리수를 하나씩 덮개로 덮으면 총 길이가 얼마든지 작아집니다. 리만 적분이 꼼짝 못하는 장면입니다.

유리수는 셀 수 있게 많습니다. 그래서 번호를 매겨 점점 작은 덮개를 씌울 수 있습니다. 덮개 크기의 합은 원하는 만큼 작아집니다.

예를 들면, 바닥에 흩어진 🍬 사탕을 하나씩 점점 작은 컵으로 덮으면, 컵 크기의 합을 얼마든지 작게 만들 수 있는 것과 같아요.

m(Q∩[0,1])=0m(\mathbb{Q}\cap[0,1]) = 0

이 씬이 포함된 학습 경로

예제

한 점 {x0}\{x_0\}의 측도가 0임을 덮개로 증명하세요.

m({x0})≤ε∀ ε>0m(\{x_0\}) \le \varepsilon \quad \forall\,\varepsilon > 0
K=1K = 1: 첫 유리수 00을 길이 0.050.05 덮개로 덮습니다.
증명 보기

  1. 임의의 ε>0\varepsilon > 0에 대해 구간 (x0−ε/2, x0+ε/2)(x_0 - \varepsilon/2,\, x_0 + \varepsilon/2)는 {x0}\{x_0\}를 덮고 길이는 ε\varepsilon입니다.

  2. 따라서 외측도는 ε\varepsilon 이하이고, ε\varepsilon이 임의이므로 측도는 00입니다.

m(Q∩[0,1])=0m(\mathbb{Q}\cap[0,1]) = 0을 ε/2k\varepsilon/2^k 덮개로 증명하세요.

∑k=1∞ε2k=ε\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\varepsilon}{2^k} = \varepsilon
ε=0.05\varepsilon = 0.05, K=32K = 32: 총길이 ≈0.05\approx 0.05로 유리수 32개를 덮습니다.
증명 보기

  1. 유리수는 가산집합이므로 [0,1][0,1]의 유리수를 r1,r2,…r_1, r_2, \dots로 나열합니다.

  2. rkr_k를 길이 ε/2k\varepsilon/2^k인 구간으로 덮으면 전체 덮개의 총길이는 ∑k=1∞ε/2k=ε\sum_{k=1}^{\infty}\varepsilon/2^k = \varepsilon입니다.

  3. ε>0\varepsilon > 0이 임의이므로 외측도는 00이고, 따라서 측도도 00입니다.

디리클레 함수의 르벡 적분은 0임을 (짧게) 증명하고, 리만 적분과 대비하세요.

∫[0,1]D=1⋅m(Q∩[0,1])+0=0\int_{[0,1]} D = 1\cdot m(\mathbb{Q}\cap[0,1]) + 0 = 0
D=1D = 1인 집합(유리수)은 측도 0 — 나머지는 D=0D = 0입니다.
증명 보기

  1. D=1D = 1인 집합은 Q∩[0,1]\mathbb{Q}\cap[0,1]로 측도가 00이고, 나머지는 D=0D = 0입니다.

  2. 따라서 르벡 적분은 1⋅0+0⋅1=01 \cdot 0 + 0 \cdot 1 = 0입니다.

  3. 반면 리만은 모든 분할에서 U=1U = 1, L=0L = 0으로 꼼짝 못 합니다 — 르벡은 "값이 얼마나 자주 나오는지"를 셉니다.

11. 적분