에고로프 정리

$0 < \delta \le 1$이므로 $|f_k(x)| \ge \delta$는 $f_k(x) = 1$과 동치이고, 이는 $x \in [\frac{1}{k+1}, \frac{1}{k}]$와 동치입니다.

따라서 $E_{n,\delta} = \bigcup_{k \ge n} [\frac{1}{k+1}, \frac{1}{k}]$입니다.

$x$가 이 합집합에 속하면 어떤 $k \ge n$에 대해 $0 < x \le \frac{1}{k} \le \frac{1}{n}$이므로 $x \in (0, \frac{1}{n}]$입니다. 역으로 $0 < x \le \frac{1}{n}$이면 구간들 $(\frac{1}{k+1}, \frac{1}{k}]$이 $(0, 1]$을 분할하므로 $x$를 품은 $k$가 하나 있고, $\frac{1}{k+1} < x \le \frac{1}{n}$에서 $k + 1 > n$, 즉 $k \ge n$입니다.

($x = 0$에서는 모든 $f_k$가 0이므로 나쁜 집합에 들어가지 않습니다.) 따라서 $E_{n,\delta} = (0, \frac{1}{n}]$이고 측도는 $\frac{1}{n}$입니다.

$\varepsilon > 0$가 주어지면 $n > 1/\varepsilon$인 $n$을 택합니다 (예: $n = \lfloor 1/\varepsilon \rfloor + 1$). 그러면 $m(E_{n,\delta}) = 1/n < \varepsilon$입니다 — 나쁜 집합을 임의로 작게 만들 수 있습니다.

이제 $F = [\frac{1}{n}, 1]$ 위에서 균등수렴을 확인합니다.

$k \ge n+1$이고 $x \ge \frac{1}{n}$이면 $x \ge \frac{1}{n} > \frac{1}{n+1} \ge \frac{1}{k}$이므로 $x$는 혹 $[\frac{1}{k+1}, \frac{1}{k}]$의 오른쪽 끝점보다도 큽니다 — 즉 $f_k(x) = 0$입니다.

따라서 모든 $k \ge n+1$에 대해 $\sup_{x \in F} |f_k(x)| = 0$이고, $f_k \to 0$이 $F$에서 균등합니다 (단 하나의 항 $f_n$이 점 $\frac{1}{n}$에서 1이지만, 꼬리에는 영향을 주지 않습니다).

정리하면: $f_n \to 0$은 $[0, 1]$ 전체에서 점별로 성립하지만 ($[0,1]$에서 $\sup f_n = 1$이므로 균등하지는 않습니다), 측도가 $\varepsilon$보다 작은 나쁜 집합 $(0, \frac{1}{n}]$ 하나만 도려내면 나머지는 균등수렴이 됩니다. 이것이 바로 이 수열에 대한 에고로프 정리이며, 씬에서 $n$을 키우면 빨간 영역이 $\frac{1}{n}$ 속도로 쪼그라드는 모습으로 확인됩니다.

문제 1에서 $B_n = (0, \frac{1}{n}]$이므로 $B_{n+1} = (0, \frac{1}{n+1}] \subseteq (0, \frac{1}{n}] = B_n$이 자명합니다 (정의에서 직접 봐도 됩니다: $k \ge n+1$에 대한 합집합은 $k \ge n$에 대한 합집합에 포함됩니다). 따라서 $\{B_n\}$은 감소수열이고 $m(B_1) = 1 < \infty$입니다.

이제 위에서의 측도 연속성을 직접 증명합니다. $A_n$이 감소수열이고 $m(A_1) < \infty$이라 하세요. $A_1$을 서로 겹치지 않는 조각들로 분해합니다: $A_1 = \left(\bigcap_n A_n\right) \sqcup \bigsqcup_{k \ge 1} (A_k \setminus A_{k+1})$.

가산 가법성에 의해 $m(A_1) = m(\bigcap_n A_n) + \sum_{k \ge 1} \big(m(A_k) - m(A_{k+1})\big)$입니다 (차집합의 측도가 뺄셈이 되려면 $m(A_{k+1}) \le m(A_1) < \infty$이 필요합니다). 부분합은 $\sum_{k=1}^{N} \big(m(A_k) - m(A_{k+1})\big) = m(A_1) - m(A_{N+1})$로 상쇄(telescoping)되고, $m(A_1)$을 상계로 가지므로 급수가 수렴합니다.

따라서 $m(A_1) = m(\bigcap_n A_n) + m(A_1) - \lim_{N \to \infty} m(A_N)$, 즉 $\lim_{N \to \infty} m(A_N) = m(\bigcap_n A_n)$입니다 — 여기서 유한성 $m(A_1) < \infty$이 양변에서 $m(A_1)$을 빼는 데 쓰였습니다.

$B_n$에 적용합니다: $\bigcap_n B_n = \varnothing$입니다. 실제로 $x$가 모든 $B_n$에 속하면 $0 < x \le \frac{1}{n}$이 모든 $n$에 대해 성립하므로 $x = 0$이어야 하는데, 이는 $x > 0$과 모순입니다.

따라서 $m(B_n) \to m(\varnothing) = 0$ — 직접 계산한 $m(B_n) = 1/n$과 일치합니다.

나쁜 집합들이 "교집합이 비게" 쪼그라들 수 있는 것은 전체 측도가 유한하기 때문이며, 이것이 에고로프 정리의 심장입니다.

먼저 각 점 $x$를 고정하면 $n > x$일 때 $f_n(x) = 0$이므로 $f_n \to 0$이 $\mathbb{R}$ 전체에서 점별로 성립합니다. 그러나 어떤 유한 측도 집합을 도려내도 균등수렴을 되찾을 수 없음을 보입니다.

$f_n \to 0$이 $F \subseteq \mathbb{R}$에서 균등하다고 가정하세요.

그러면 어떤 $N$이 있어 모든 $n \ge N$에 대해 $\sup_{x \in F} |f_n(x)| < \frac{1}{2}$입니다.

그런데 $f_n$은 값으로 $0$과 $1$만 가지므로, 상한이 $\frac{1}{2}$보다 작다는 것은 $F$ 위에서 $f_n \equiv 0$이라는 뜻입니다 — 즉 모든 $n \ge N$에 대해 $F \cap [n, n+1] = \varnothing$입니다 (그렇지 않으면 그 점에서 $f_n = 1$이 되어 상한이 1이 됩니다).

따라서 $[N, \infty) = \bigcup_{n \ge N} [n, n+1] \subseteq \mathbb{R} \setminus F$이고, $m(\mathbb{R} \setminus F) \ge m([N, \infty)) = \infty$입니다.

균등수렴하는 집합은 혹들을 유한 개를 제외하고 전부 놓쳐야 하므로, 버려야 하는 집합의 측도는 무조건 무한대입니다 — 에고로프 정리에서 $m(X) < \infty$ 조건을 뺄 수 없는 이유입니다.

씬의 수열과 대조해 보세요: 거기서는 혹이 0 한 점으로 모여들어, 그 점 근처만 도려내면 되었습니다.