합성곱

한 함수를 뒤집어 밀면서 다른 함수와 겹치는 양을 재는 연산입니다. 지시함수 두 개를 겹치면 겹침의 길이가 텐트 모양 곡선이 됩니다.

매끄러운 핵과 합성곱하면 계단처럼 각진 함수도 부드러워집니다. 핵이 좁아질수록 부드러워진 함수는 원래 함수에 가까워집니다.

예를 들면, 📷 사진의 한 픽셀을 주변 픽셀들의 가중 평균으로 바꾸는 흐림 효과와 같아요. 가운데 픽셀에 가장 큰 가중치를 주는 거예요.

(f∗g)(x)=∫−∞∞f(t) g(x−t) dt(f * g)(x) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t)\, g(x - t)\, dt
(f∗φε)(x)→f(x) as ε→0+ at continuity points x(f * \varphi_{\varepsilon})(x) \to f(x) \text{ as } \varepsilon \to 0^+ \text{ at continuity points } x

예제

합성곱은 교환법칙을 만족함을 증명하세요: 적분 가능한 함수 f,gf, g에 대해 모든 xx에서 (f∗g)(x)=(g∗f)(x)(f * g)(x) = (g * f)(x)입니다.

치환 u=x−tu = x - t를 쓰고, 적분 구간의 방향이 뒤집히는 단계와 부호가 상쇄되는 단계를 명시하세요.

(f∗g)(x)=∫−∞∞f(t) g(x−t) dt(f * g)(x) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t)\, g(x - t)\, dt
f,g∈L1(R),∫−∞∞∣f(t) g(x−t)∣ dt<∞f, g \in L^1(\mathbb{R}), \qquad \int_{-\infty}^{\infty} |f(t)\, g(x - t)|\, dt < \infty
텐트 모드, x=0.7x = 0.7: (f∗g)(0.7)=0.7(f * g)(0.7) = 0.7 -- 여기서 f=gf = g라 교환이 자명해 보이지만, 아래 증명은 모든 적분 가능한 쌍에 대해 성립합니다.
증명 보기

  1. 가정: f,g∈L1(R)f, g \in L^1(\mathbb{R})이고, 고정된 xx에 대해 곱의 적분이 절대수렴합니다 (display 둘째 줄). 이 조건에서 아래 치환은 정당합니다. 정의에서 출발합니다: (f∗g)(x)=∫−∞∞f(t) g(x−t) dt(f * g)(x) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t)\, g(x - t)\, dt.

  2. 치환 u=x−tu = x - t를 적용합니다. 그러면 t=x−ut = x - u이고 dt=−dudt = -du입니다. 구간의 끝점은 t→−∞t \to -\infty일 때 u→+∞u \to +\infty이고, t→+∞t \to +\infty일 때 u→−∞u \to -\infty입니다 -- 즉 t:−∞→∞t: -\infty \to \infty는 u:∞→−∞u: \infty \to -\infty로 대응합니다. 대입하면 (f∗g)(x)=∫+∞−∞f(x−u) g(u) (−du)(f * g)(x) = \int_{+\infty}^{-\infty} f(x - u)\, g(u)\, (-du)입니다.

  3. 이제 두 가지 부호가 상쇄됩니다: dudu 앞의 −1-1은 적분 구간을 뒤집는 것 (∫+∞−∞=−∫−∞+∞\int_{+\infty}^{-\infty} = -\int_{-\infty}^{+\infty})과 정확히 하나씩 짝을 이룹니다. 따라서 (f∗g)(x)=∫−∞∞f(x−u) g(u) du(f * g)(x) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x - u)\, g(u)\, du입니다.

  4. 오른쪽은 정의 그대로 (g∗f)(x)=∫−∞∞g(u) f(x−u) du(g * f)(x) = \int_{-\infty}^{\infty} g(u)\, f(x - u)\, du입니다 (더미 변수 이름만 uu입니다). 따라서 (f∗g)(x)=(g∗f)(x)(f * g)(x) = (g * f)(x)이며, xx는 임의였으므로 f∗g=g∗ff * g = g * f입니다.

f=g=1[0,1]f = g = \mathbf{1}_{[0,1]}일 때 (f∗g)(x)(f * g)(x)를 모든 실수 xx에 대해 구하세요.

답은 텐트 함수여야 합니다: [0,1][0,1]에서 xx, [1,2][1,2]에서 2−x2 - x, 그 밖에서는 00 -- 씬의 흔적과 일치합니다.

(f∗g)(x)=∫−∞∞1[0,1](t) 1[0,1](x−t) dt=length of [0,1]∩[x−1,x](f * g)(x) = \int_{-\infty}^{\infty} \mathbf{1}_{[0,1]}(t)\, \mathbf{1}_{[0,1]}(x - t)\, dt = \text{length of } [0,1] \cap [x-1, x]
텐트 모드, x=1.4x = 1.4: 겹침은 [0.4,1][0.4, 1]이고 (f∗g)(1.4)=2−1.4=0.6(f * g)(1.4) = 2 - 1.4 = 0.6입니다 -- 아래 경우 나누기의 내리막 구간입니다.
증명 보기

  1. 곱 1[0,1](t) 1[0,1](x−t)\mathbf{1}_{[0,1]}(t)\, \mathbf{1}_{[0,1]}(x - t)는 두 조건이 동시에 성립할 때만 11입니다: 0≤t≤10 \le t \le 1이고 0≤x−t≤10 \le x - t \le 1. 둘째 조건은 x−1≤t≤xx - 1 \le t \le x와 동치입니다. 따라서 적분은 집합 {t:0≤t≤1, x−1≤t≤x}=[0,1]∩[x−1,x]\{t : 0 \le t \le 1,\ x - 1 \le t \le x\} = [0,1] \cap [x-1, x]의 길이와 같습니다.

  2. 교집합의 끝점은 max⁡(0,x−1)\max(0, x-1)과 min⁡(1,x)\min(1, x)입니다. 비교는 x−1≤0  ⟺  x≤1x - 1 \le 0 \iff x \le 1과 x≤1x \le 1 자체로 갈립니다: x≤1x \le 1이면 max⁡(0,x−1)=0\max(0, x-1) = 0이고 min⁡(1,x)=x\min(1, x) = x (단 x≥0x \ge 0일 때)이며, x≥1x \ge 1이면 max⁡(0,x−1)=x−1\max(0, x-1) = x-1이고 min⁡(1,x)=1\min(1, x) = 1입니다. 이 비교가 아래 경우 나누기를 정당화합니다.

  3. 경우 1, x<0x < 0 또는 x>2x > 2: x<0x < 0이면 min⁡(1,x)=x<0≤max⁡(0,x−1)\min(1, x) = x < 0 \le \max(0, x-1)이라 교집합이 비어 있고, x>2x > 2이면 max⁡(0,x−1)=x−1>1≥min⁡(1,x)\max(0, x-1) = x - 1 > 1 \ge \min(1, x)라 역시 비어 있습니다. 두 경우 모두 (f∗g)(x)=0(f * g)(x) = 0입니다. 경우 2, 0≤x≤10 \le x \le 1: 교집합은 [0,x][0, x]이고 길이는 xx입니다.

  4. 경우 3, 1≤x≤21 \le x \le 2: 교집합은 [x−1,1][x-1, 1]이고 길이는 1−(x−1)=2−x1 - (x - 1) = 2 - x입니다. 정리하면 (f∗g)(x)(f * g)(x)는 00 (밖), xx ([0,1][0,1]), 2−x2 - x ([1,2][1,2])인 텐트 함수이며, x=1x = 1에서 꼭짓점 값 11을 갖습니다 -- 씬에 그려진 흔적과 정확히 같습니다.

φ≥0\varphi \ge 0, supp⁡φ⊆[−1,1]\operatorname{supp} \varphi \subseteq [-1,1], ∫φ=1\int \varphi = 1이고 φε(t)=1εφ(t/ε)\varphi_{\varepsilon}(t) = \frac{1}{\varepsilon} \varphi(t/\varepsilon)라 하세요. 유계 함수 ff (∥f∥∞=M\|f\|_{\infty} = M)가 x0x_0에서 연속이면, ε→0+\varepsilon \to 0^+일 때 (f∗φε)(x0)→f(x0)(f * \varphi_{\varepsilon})(x_0) \to f(x_0)임을 증명하세요.

씬의 텐트 핵 φ(t)=max⁡(0,1−∣t∣)\varphi(t) = \max(0, 1 - |t|)이 가정을 만족함을 확인하는 것부터 시작하세요.

φε(t)=1εφ(t/ε),∫−∞∞φε=1,supp⁡φε⊆[−ε,ε]\varphi_{\varepsilon}(t) = \frac{1}{\varepsilon} \varphi(t/\varepsilon), \qquad \int_{-\infty}^{\infty} \varphi_{\varepsilon} = 1, \qquad \operatorname{supp} \varphi_{\varepsilon} \subseteq [-\varepsilon, \varepsilon]
(f∗φε)(x0)−f(x0)=∫−∞∞[f(x0−t)−f(x0)] φε(t) dt(f * \varphi_{\varepsilon})(x_0) - f(x_0) = \int_{-\infty}^{\infty} [f(x_0 - t) - f(x_0)]\, \varphi_{\varepsilon}(t)\, dt
부드럽게 모드, x=0.05x = 0.05, ε=0.1\varepsilon = 0.1: v=x/ε=0.5v = x/\varepsilon = 0.5라 (f∗φε)(0.05)=1−(1−0.5)2/2=0.875(f * \varphi_{\varepsilon})(0.05) = 1 - (1 - 0.5)^2/2 = 0.875입니다 -- ε→0\varepsilon \to 0이면 f(0.05)=1f(0.05) = 1로 다가갑니다.
증명 보기

  1. 텐트 핵 확인: φ(t)=max⁡(0,1−∣t∣)\varphi(t) = \max(0, 1 - |t|)는 음이 아니고, [−1,1][-1,1] 밖에서는 00이며, ∫φ\int \varphi는 밑변 22, 높이 11인 삼각형의 넓이 =12⋅2⋅1=1= \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 1 = 1입니다. 따라서 텐트 핵은 가정 φ≥0\varphi \ge 0, supp⁡φ⊆[−1,1]\operatorname{supp} \varphi \subseteq [-1,1], ∫φ=1\int \varphi = 1을 모두 만족합니다.

  2. 스케일 불변성: ∫φε=1\int \varphi_{\varepsilon} = 1입니다. 치환 s=t/εs = t/\varepsilon (dt=ε dsdt = \varepsilon\, ds)를 쓰면 ∫1εφ(t/ε) dt=∫φ(s) ds=1\int \frac{1}{\varepsilon} \varphi(t/\varepsilon)\, dt = \int \varphi(s)\, ds = 1입니다. 같은 치환으로 supp⁡φε⊆[−ε,ε]\operatorname{supp} \varphi_{\varepsilon} \subseteq [-\varepsilon, \varepsilon]도 얻습니다: φε(t)≠0\varphi_{\varepsilon}(t) \ne 0이려면 ∣t/ε∣≤1|t/\varepsilon| \le 1, 즉 ∣t∣≤ε|t| \le \varepsilon이어야 합니다. 또 ∣f∣≤M|f| \le M이고 φε∈L1\varphi_{\varepsilon} \in L^1이라 합성곱은 잘 정의됩니다.

  3. 오차 항등식: f(x0)=∫f(x0) φε(t) dtf(x_0) = \int f(x_0)\, \varphi_{\varepsilon}(t)\, dt (질량이 11이라 f(x0)⋅1f(x_0) \cdot 1)이므로, 빼면 (f∗φε)(x0)−f(x0)=∫[f(x0−t)−f(x0)] φε(t) dt(f * \varphi_{\varepsilon})(x_0) - f(x_0) = \int [f(x_0 - t) - f(x_0)]\, \varphi_{\varepsilon}(t)\, dt입니다. 절댓값을 안으로 넣고 φε≥0\varphi_{\varepsilon} \ge 0을 쓰면 ∣(f∗φε)(x0)−f(x0)∣≤∫∣f(x0−t)−f(x0)∣ φε(t) dt|(f * \varphi_{\varepsilon})(x_0) - f(x_0)| \le \int |f(x_0 - t) - f(x_0)|\, \varphi_{\varepsilon}(t)\, dt입니다.

  4. η>0\eta > 0이 주어졌다고 하세요. ff가 x0x_0에서 연속이므로, ∣t∣<δ|t| < \delta일 때 ∣f(x0−t)−f(x0)∣<η/2|f(x_0 - t) - f(x_0)| < \eta/2인 δ>0\delta > 0이 있습니다. 이제 ε<δ\varepsilon < \delta인 모든 ε\varepsilon를 잡으세요.

  5. 마무리: supp⁡φε⊆[−ε,ε]⊆[−δ,δ]\operatorname{supp} \varphi_{\varepsilon} \subseteq [-\varepsilon, \varepsilon] \subseteq [-\delta, \delta]이므로 오차 적분 전체가 ∣t∣<δ|t| < \delta 구간에서만 살아 있고, 거기서는 인자 ∣f(x0−t)−f(x0)∣|f(x_0 - t) - f(x_0)|가 η/2\eta/2보다 작습니다. 따라서 오차는 (η/2)∫φε=η/2<η(\eta/2) \int \varphi_{\varepsilon} = \eta/2 < \eta 이하입니다. η\eta는 임의였으므로 (f∗φε)(x0)→f(x0)(f * \varphi_{\varepsilon})(x_0) \to f(x_0) (ε→0+\varepsilon \to 0^+)입니다. 일반적인 근사 항등원과 달리 꼬리 항이 없는 이유는 지지집합이 [−ε,ε][-\varepsilon, \varepsilon]로 줄어들기 때문입니다.

11. 적분