푸비니-토넬리 정리

안쪽 적분부터: 고정된 $y$에 대해 $\int_0^1 xy\,dx = y\int_0^1 x\,dx = y \cdot \frac12$입니다. 바깥 적분은 $\int_0^1 \frac{y}{2}\,dy = \frac12 \cdot \frac12 = \frac14$입니다.

순서를 바꾸면: 고정된 $x$에 대해 $\int_0^1 xy\,dy = x \cdot \frac12$이고, $\int_0^1 \frac{x}{2}\,dx = \frac14$입니다. 두 순서 모두 $\frac14$ — 곱이 분리되기 때문입니다: $\iint xy = (\int_0^1 x\,dx)(\int_0^1 y\,dy)$.

$f(x,y) = xy$는 $[0,1]^2$에서 연속이므로 가측이고, $f \ge 0$이므로 토넬리 정리의 가정이 모두 충족되어 토넬리 정리가 순서를 바꿔도 값이 같음을 보장합니다 — 위의 직접 계산이 그 정리를 이 구체적인 함수에서 확인한 것입니다. 모든 단계가 완성되었습니다.

대칭성 (엄밀한 부분): $f(y, x) = \dfrac{y^2-x^2}{(y^2+x^2)^2} = -\dfrac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2} = -f(x, y)$입니다.

두 겹적분을 $I_1 = \int_0^1\!\!\int_0^1 f(x,y)\,dy\,dx$, $I_2 = \int_0^1\!\!\int_0^1 f(x,y)\,dx\,dy$라 하면, $I_2$에서 더미 변수 $x \leftrightarrow y$를 맞바꿔 $I_2 = \int_0^1\!\!\int_0^1 f(y,x)\,dy\,dx = -\int_0^1\!\!\int_0^1 f(x,y)\,dy\,dx = -I_1$을 얻습니다.

즉 두 겹적분은 정확히 서로의 음수입니다 — 계산 없이 증명되었습니다.

$x > 0$에서 $y$에 대한 원시함수부터: $\frac{\partial}{\partial y}\left[\frac{y}{x^2+y^2}\right] = \frac{(x^2+y^2) - y(2y)}{(x^2+y^2)^2} = \frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2} = f(x,y)$입니다. 따라서 안쪽 적분 $\int_0^1 f(x,y)\,dy = \left[\frac{y}{x^2+y^2}\right]_0^1 = \frac{1}{1+x^2} - 0 = \frac{1}{1+x^2}$입니다.

$x = 0$에서는 $f(0,y) = \frac{-y^2}{y^4} = -\frac{1}{y^2}$이므로 안쪽 적분은 이상적분입니다: $\int_\varepsilon^1 -\frac{1}{y^2}\,dy = \left[\frac{1}{y}\right]_\varepsilon^1 = 1 - \frac{1}{\varepsilon} \to -\infty$ ($\varepsilon \to 0^+$). 이는 $x$의 한 점에서만 일어나는데, 한 점집합 $\{0\}$은 르베그 측도가 $0$이므로, 바깥 적분을 르베그 적분으로 읽으면 안쪽 적분의 값은 거의 모든 $x$에 대해서만 정해지면 되고, 한 점에서의 발산은 바깥 적분에 영향을 주지 않습니다: $\int_0^1 \frac{dx}{1+x^2} = [\arctan x]_0^1 = \frac{\pi}{4}$이고, 따라서 $I_1 = \frac{\pi}{4}$입니다.

순서를 바꾸면 $x$에 대한 원시함수는 $\frac{\partial}{\partial x}\left[-\frac{x}{x^2+y^2}\right] = \frac{-(x^2+y^2) + x(2x)}{(x^2+y^2)^2} = \frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2} = f(x,y)$입니다.

$y > 0$에서 $\int_0^1 f(x,y)\,dx = \left[-\frac{x}{x^2+y^2}\right]_0^1 = -\frac{1}{1+y^2}$이고, $y = 0$에서는 $f(x,0) = \frac{1}{x^2}$이므로 $\int_\varepsilon^1 \frac{dx}{x^2} = \left[-\frac{1}{x}\right]_\varepsilon^1 = -1 + \frac{1}{\varepsilon} \to +\infty$ — 역시 한 점의 특이점입니다.

바깥 적분은 $\int_0^1 -\frac{dy}{1+y^2} = -\frac{\pi}{4}$이므로 $I_2 = -\frac{\pi}{4}$입니다.

$\frac{\pi}{4} \ne -\frac{\pi}{4}$이므로 푸비니의 결론이 실패합니다. 대우를 적용하기 전에 가측성과 거의 모든 곳에서의 안쪽 적분 가능성을 확인합니다: $f$는 $(0,1]^2$에서 연속이므로 $[0,1]^2$에서 가측입니다 (단일점 $(0,0)$에서는 $f$를 임의로 정의해도 됩니다; 단일점과 좌표 구간 $\{x=0\}$, $\{y=0\}$은 측도가 $0$입니다).

앞 단계에서 보았듯 안쪽 적분은 $x = 0$ ($y = 0$)인 경우를 제외하고 모든 $x > 0$ ($y > 0$)에서 존재하므로, 즉 거의 모든 곳에서 존재합니다. $|f|$는 가측이고 $\ge 0$이므로 토넬리를 $|f|$에 적용할 수 있고, 이는 $\int |f| = \infty$를 정당하게 줍니다.

따라서 대우로, $f$는 $(0,1)^2$에서 적분 가능하지 않습니다 ($\int |f| = \infty$) — 적분 가능성 가정이 빠지면 부호가 있는 질량이 서로 상쇄되며 순서에 따라 다른 값이 남는 것입니다.

부호 뒤집기 대칭성은 계산 없이 증명되었고, $\pi/4$ 평가는 원시함수와 이상적분을 이용해 완전히 정당화되었습니다. 모든 단계가 완성되었습니다.

먼저 직사각형의 지시함수 $R = A \times B$ (가측집합, 측도는 무한 가능)에 대해: 안쪽 적분 $\int \mathbf{1}_R(x, y)\,dx = m(A)\,\mathbf{1}_B(y)$이고, 바깥 적분은 $\int m(A)\,\mathbf{1}_B(y)\,dy = m(A)\,m(B)$입니다.

순서를 바꿔도 $\int \mathbf{1}_R(x, y)\,dy = m(B)\,\mathbf{1}_A(x)$ 뒤에 $m(B)\,m(A)$로 같습니다.

퇴화한 경우를 따로 처리합니다: 측도론의 관례 $0 \cdot \infty := 0$을 쓰며, $m(B) = 0$이면 $m(A)$가 무한하더라도 $A \times B$는 영집합이므로 두 겹적분은 모두 $0 = m(A)\,m(B)$이고, $m(A) = 0$인 경우도 대칭적입니다.

직사각형들로 만든 단순함수 $s = \sum_{p=1}^{P} c_p\,\mathbf{1}_{A_p \times B_p}$ ($c_p \ge 0$, 직사각형들은 서로 겹치지 않음)에 대해서는 단면이 명시적이라 보조정리가 필요 없습니다: 고정된 $y$에서 $\int s(x,y)\,dx = \sum_p c_p\,m(A_p)\,\mathbf{1}_{B_p}(y)$ (앞 단계)이고, 이는 $y$의 단순함수이므로 바깥 적분은 $\sum_p c_p\,m(A_p)\,m(B_p)$ — 순서를 바꿔도 같습니다.

보조정리 (단면의 가측성): 유한 측도 곱공간(예: $[0,1]^2$)에서 $E$가 곱-가측이면 단면 $E^y = \{x : (x,y) \in E\}$는 가측이고, $y \mapsto m(E^y)$는 가측이며 $\int m(E^y)\,dy = m(E)$이다 ($x$-단면도 마찬가지). 증명: 먼저 $\mathcal{A}$를 가측 직사각형들의 유한 서로소 합집합들의 모임이라 두자; $\mathcal{A}$는 대수(algebra)이다 (여집합과 유한 합집합에 닫혀 있음)이며 곱 시그마-대수를 생성한다, $\sigma(\mathcal{A})$가 곱 시그마-대수와 같다.

이 성질을 갖는 집합들의 모임 $\mathcal{C}$는 직사각형을 포함하고 — $E = A \times B$이면 $E^y = A$ ($y \in B$) 또는 $\varnothing$이고 $m(E^y) = m(A)\,\mathbf{1}_B(y)$이므로 — 유한 가산성으로 단면-측도 항등식이 $\mathcal{A}$ 전체에서 성립하므로 $\mathcal{A} \subset \mathcal{C}$이다. 또한 $\mathcal{C}$는 단조 모임이다: $E_n \uparrow E$이면 $(E_n)^y \uparrow E^y$이므로 측도의 연속성과 단조수렴정리로 $\int m((E_n)^y)\,dy = m(E_n) \uparrow m(E) = \int m(E^y)\,dy$가 유지된다 (감소열은 유한 측도에서 마찬가지).

단조 모임 정리로 $\mathcal{C}$는 $\sigma(\mathcal{A})$를 포함하므로 $\mathcal{C}$는 곱 시그마-대수 전체이다.

일반 단순함수 $f = \sum_{k=1}^{m} a_k\,\mathbf{1}_{E_k}$ ($a_k \ge 0$, $E_k$는 서로 겹치지 않는 곱-가측집합)에 대해: 단면 $f^y(x) = f(x,y) = \sum_k a_k\,\mathbf{1}_{(E_k)^y}(x)$는 단순함수이므로 $\int f^y\,dx = \sum_k a_k\,m((E_k)^y)$ — 보조정리로 $y \mapsto \int f^y\,dx$는 가측함수들의 합이라 가측이다.

적분하면 $\int\!\!\int f\,dx\,dy = \sum_k a_k \int m((E_k)^y)\,dy = \sum_{k=1}^{m} a_k\,m(E_k)$ — 순서와 무관한 하나의 이중합이다.

모든 항이 $\ge 0$이라 상쇄가 일어날 수 없으므로, 적분 가능성 가정이 전혀 필요 없다.

일반 $f \ge 0$에는 표준 단순함수열 $s_j \uparrow f$ ($s_j = \sum_k a^{(j)}_k\,\mathbf{1}_{E^{(j)}_k}$)를 취한다.

고정된 $y$마다 $x$에 대한 단조수렴정리로 $\int s_j^y\,dx \uparrow \int f^y\,dx$ — 여기서 $\varphi_j(y) = \int s_j^y\,dx$는 앞 단계에서 가측인 증가열이므로, $y$에 대한 단조수렴정리를 한 번 더 쓰면 $\int_y \varphi_j\,dy \uparrow \int_y(\int_x f\,dx)dy$이다.

그런데 $\int_y \varphi_j\,dy = \sum_k a^{(j)}_k\,m(E^{(j)}_k) = \iint s_j \uparrow \iint f$ (곱측도에 대한 단조수렴정리)이므로, 두 겹적분 모두 $\iint f$와 같다 — 이것이 토넬리 정리가 $f \ge 0$에서는 적분 가능성을 가정하지 않는 이유이다. 모든 단계가 완성되었다.