디리클레 함수

먼저 유리수의 조밀성을 보입니다: $u < v$이면 $(u, v)$ 안에 유리수가 있습니다. $N \in \mathbb{N}$을 $\frac1N < v - u$가 되게 잡고 (아르키메데스 성질), $m = \lfloor Nu \rfloor + 1$이라 두면, $\frac{m}{N} - u = \frac{\lfloor Nu \rfloor + 1 - Nu}{N} \le \frac1N < v - u$이므로 $u < \frac{m}{N} < v$입니다.

분할 $P = \{x_0 < x_1 < \cdots < x_n\}$를 잡습니다.

각 부분구간 $[x_{i-1}, x_i]$는 위에서 유리수 $r_i$를 포함하므로, $M_i = \sup_{[x_{i-1}, x_i]} f \ge f(r_i) = 1$입니다.

그런데 $f \le 1$이 항상 성립하므로 $M_i = 1$입니다.

따라서 $U(f, P) = \sum_{i=1}^{n} M_i\,\Delta x_i = \sum_{i=1}^{n} 1 \cdot (x_i - x_{i-1}) = x_n - x_0 = 1$입니다. 분할을 어떻게 잡아도 위합은 항상 $1$ — 빨간 점(유리수)이 모든 구간에 박혀 있기 때문입니다.

무리수도 조밀합니다: $u < v$이면 $(u, v)$ 안에 무리수가 있습니다. 유리수의 조밀성에 의해 $(u - \sqrt{2},\, v - \sqrt{2})$ 안에 유리수 $q$가 있고, 그러면 $q + \sqrt{2}$는 $(u, v)$ 안의 무리수입니다 ($\sqrt{2}$가 무리수이므로, 유리수 $+$ 무리수는 무리수).

분할 $P = \{x_0 < \cdots < x_n\}$에 대해, 각 부분구간 $[x_{i-1}, x_i]$는 무리수 $s_i$를 포함하므로 $m_i = \inf_{[x_{i-1}, x_i]} f \le f(s_i) = 0$입니다. $f \ge 0$이므로 $m_i = 0$입니다.

따라서 $L(f, P) = \sum_{i=1}^{n} 0 \cdot \Delta x_i = 0$입니다. 위 문제와 합치면 $U(f, P) - L(f, P) = 1$이 모든 분할에서 성립 — 틈이 절대 닫히지 않으므로 $f$는 리만 적분 불가능합니다.

임의의 $x \in [0, 1]$을 잡습니다.

유리수와 무리수의 조밀성에 의해, 각 $k \ge 1$마다 구간 $(x - \tfrac1k,\, x + \tfrac1k) \cap [0, 1]$에서 유리수 $r_k$와 무리수 $s_k$를 고를 수 있습니다.

$|r_k - x| < \frac1k$, $|s_k - x| < \frac1k$이므로 $r_k \to x$이고 $s_k \to x$입니다.

그런데 $f(r_k) = 1$이므로 $f(r_k) \to 1$이고, $f(s_k) = 0$이므로 $f(s_k) \to 0$입니다. $f$가 $x$에서 연속이라면 수열 연속성에 의해 두 극한이 모두 $f(x)$와 같아야 하는데, $1 \ne 0$이므로 모순입니다.

따라서 $f$는 $[0, 1]$의 모든 점에서 불연속입니다. "너무 불연속이라" 리만 적분이 안 되는 셈입니다 — 르베그 적분은 유리수 집합의 측도가 $0$임을 이용해 $\int f = 0$을 구합니다 (르베그 장면 참조).