리만합 스퀴즈

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ 을 이용해 $\int_0^1 x^2\,dx = \frac13$ 을 위합·아래합으로 증명하세요.

L_n = \frac{(n-1)n(2n-1)}{6n^3} \to \frac13, \quad U_n = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3} \to \frac13

n = 48

: 틈

U - L = 1/48 \approx 0.0208

이

\frac13

을 조입니다.

증명 보기

균등분할 $P_n$ 에서 $x^2$ 은 증가하므로, 아래합은 왼쪽 끝점, 위합은 오른쪽 끝점을 씁니다: $L_n = \frac{1}{n^3}\sum_{k=0}^{n-1}k^2$ , $U_n = \frac{1}{n^3}\sum_{k=1}^{n}k^2$ .
제곱합 공식을 대입하면 $L_n = \frac{(n-1)n(2n-1)}{6n^3}$ , $U_n = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3}$ 입니다.
$n \to \infty$ 일 때 둘 다 $\frac{2n^3}{6n^3} = \frac13$ 으로 갑니다.
이것이 임의의 분할이 아닌 균등분할만으로 충분한 이유: 하적분과 상적분은 모든 분할에 대한 하한·상한이므로, 각 $n$ 마다 $L_n = L(P_n, f) \le \underline{\int_0^1} f \le \overline{\int_0^1} f \le U(P_n, f) = U_n$ 입니다.
양쪽 끝이 모두 $\frac13$ 으로 가므로 조임에 의해 하적분과 상적분이 모두 $\frac13$ 이고, 적분값은 $\frac13$ 입니다.

디리클레 함수는 리만 적분 불가능함을, 모든 분할에 대해 $U - L = 1$ 임을 보여 증명하세요.

U(D,P) = 1, \quad L(D,P) = 0 \quad \text{for every } P

x^2

의 위합·아래합과 대조해 보세요 — 디리클레 함수에서는 틈이 절대 좁혀지지 않습니다.

증명 보기

임의의 구간에는 유리수와 무리수가 모두 있으므로, 디리클레 함수 $D$ 에 대해 모든 소구간에서 $\sup D = 1$ , $\inf D = 0$ 입니다.
따라서 어떤 분할 $P$ 에 대해서도 $U(D,P) = \sum 1\cdot\Delta x_k = 1$ , $L(D,P) = \sum 0\cdot\Delta x_k = 0$ 입니다.
$U - L = 1 \not\to 0$ 이므로 리만 적분 가능성의 필요충분조건을 만족하지 않습니다.

분할을 세분하면 $U - L$ 이 절대 증가하지 않음을 증명하세요.

P' \supset P \;\Rightarrow\; U(f,P') \le U(f,P),\; L(f,P') \ge L(f,P)

n = 10

: 분할을 잘게 쪼갤수록 틈이 단조롭게 줄어듭니다.

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