비탈리 집합

선택공리로 각 무리에서 대표 하나씩을 뽑아 만든 집합입니다. 그 결과, 크기를 잴 수 없는 집합이 탄생합니다.

이 집합을 유리수만큼 밀어낸 복사본들이 구간을 덮습니다. 크기가 0이면 복사본의 합도 0이어야 합니다. 양수이면 합이 무한대가 됩니다. 둘 다 모순이라 크기를 정할 수 없습니다.

예를 들면, 📦 상자 하나를 복사해 늘어놓으면 방을 채우는데, 상자 크기가 0이면 합도 0이어야 하고 조금이라도 있으면 합이 끝없이 커지는 것과 같아요. 그래서 크기를 정할 수 없어요.

[0,1]⊆⨆q∈Q∩[−1,1](V+q)⊆[−1,2][0,1] \subseteq \bigsqcup_{q \in \mathbb{Q}\cap[-1,1]} (V + q) \subseteq [-1,2]
m(V)>0⇒∑m(V)=∞>3,m(V)=0⇒∑m(V)=0<1m(V) > 0 \Rightarrow \sum m(V) = \infty > 3,\qquad m(V) = 0 \Rightarrow \sum m(V) = 0 < 1

예제

x∼y  ⟺  x−y∈Qx \sim y \iff x - y \in \mathbb{Q}로 [0,1][0, 1] 위에 동치관계를 정의하고, 선택공리로 각 동치류에서 대표원 하나씩을 골라 V⊂[0,1]V \subset [0, 1]을 만드세요.

유리수 q1≠q2q_1 \ne q_2에 대해 평행이동 V+q1V + q_1과 V+q2V + q_2가 서로소임을 완전히 증명하세요.

x∈(V+q1)∩(V+q2)  ⟹  q1=q2x \in (V + q_1) \cap (V + q_2) \;\Longrightarrow\; q_1 = q_2
d=3d = 3: 분모가 33 이하인 유리수 99개 — 각 행이 모형 대표원 집합의 평행이동입니다. 진짜 증명은 가산 개의 유리수 전체에 대한 것입니다.
증명 보기

  1. [선택공리의 사용 — 유일한 사용처] x∼y  ⟺  x−y∈Qx \sim y \iff x - y \in \mathbb{Q}는 [0,1][0, 1] 위의 동치관계입니다 (반사·대칭·추이는 유리수 집합이 덧셈군이기 때문입니다). 선택공리를 정확히 한 번 써서, [0,1][0, 1]과 만나는 각 동치류에서 대표원 하나씩을 고릅니다. 그 모음이 VV입니다 — 따라서 V⊂[0,1]V \subset [0, 1]이며, VV는 각 동치류마다 정확히 하나의 원소를 가집니다.

  2. x∈(V+q1)∩(V+q2)x \in (V + q_1) \cap (V + q_2)라 두면, 어떤 v1,v2∈Vv_1, v_2 \in V에 대해 x=v1+q1=v2+q2x = v_1 + q_1 = v_2 + q_2입니다. 정리하면 v1−v2=q2−q1∈Qv_1 - v_2 = q_2 - q_1 \in \mathbb{Q} — 즉 v1∼v2v_1 \sim v_2입니다.

  3. VV는 각 동치류에서 원소를 하나씩만 가지므로, v1∼v2v_1 \sim v_2이면 v1=v2v_1 = v_2입니다.

    그러면 q1=x−v1=x−v2=q2q_1 = x - v_1 = x - v_2 = q_2 — 모순.

    따라서 서로 다른 유리수에 대한 평행이동은 겹치지 않습니다.

문제 1의 VV에 대해, Q∩[−1,1]\mathbb{Q} \cap [-1, 1] 안의 유리수 qq들에 대한 평행이동들의 합집합이 [0,1]⊂⋃q(V+q)⊂[−1,2][0, 1] \subset \bigcup_q (V + q) \subset [-1, 2]를 만족함을 완전히 증명하세요.

[0,1]⊂⋃q∈Q∩[−1,1](V+q)⊂[−1,2][0, 1] \subset \bigcup_{q \in \mathbb{Q} \cap [-1,1]} (V + q) \subset [-1, 2]
d=6d = 6: 유리수 2525개 — [−1,2][-1, 2] 상자 안에 모형 평행이동들이 촘촘히 들어가고, [0,1][0, 1] 띠를 덮습니다.
증명 보기

  1. [선택공리의 사용 — 문제 1과 동일] VV는 선택공리로 각 ∼\sim-동치류에서 하나씩 고른 대표원들의 집합이며, V⊂[0,1]V \subset [0, 1]입니다. 아래 두 포함관계는 이 구성의 직접적인 결과입니다.

  2. 왼쪽 포함: x∈[0,1]x \in [0, 1]이라 두면, xx가 속한 동치류의 대표원 v∈Vv \in V가 존재합니다.

    q=x−v∈Qq = x - v \in \mathbb{Q}이고, x,v∈[0,1]x, v \in [0, 1]이므로 q∈[−1,1]q \in [-1, 1]입니다.

    따라서 x=v+q∈V+qx = v + q \in V + q — 즉 [0,1]⊂⋃q(V+q)[0, 1] \subset \bigcup_q (V + q)입니다.

  3. 오른쪽 포함: V⊂[0,1]V \subset [0, 1]이고 q∈[−1,1]q \in [-1, 1]이므로, V+q⊂[0,1]+[−1,1]=[−1,2]V + q \subset [0, 1] + [-1, 1] = [-1, 2]입니다.

    모든 qq에 대해 합집합을 취해도 마찬가지입니다.

    씬의 [−1,2][-1, 2] 상자와 [0,1][0, 1] 띠가 바로 이 샌드위치입니다.

VV가 르베그 가측이라고 가정하고 모순을 이끌어내세요: 가산가법성과 평행이동 불변성으로부터, m(V)>0m(V) > 0인 경우와 m(V)=0m(V) = 0인 경우 모두 불가능함을 완전히 증명하세요.

m(⋃q(V+q))=∑qm(V+q)=∑qm(V)yet1≤m(⋃q)≤3m\left(\bigcup_q (V + q)\right) = \sum_q m(V + q) = \sum_q m(V) \quad\text{yet}\quad 1 \le m\left(\bigcup_q\right) \le 3
d=2d = 2: 유리수 55개만 보여도 — m=1m = 1이라 두면 측도 합이 5>35 > 3으로 상자를 넘칩니다 (유한 버전의 모순).
증명 보기

  1. [선택공리의 사용 — 문제 1과 동일] VV는 선택공리로 만든 대표원 집합입니다.

    VV가 가측이라 가정하고 m=m(V)m = m(V)라 둡니다.

    평행이동 불변성에 의해 모든 유리수 qq에 대해 m(V+q)=mm(V + q) = m입니다.

  2. 문제 1에서 평행이동들은 서로소이므로, 가산가법성으로 m(⋃q(V+q))=∑qm(V+q)=∑qmm\left(\bigcup_q (V + q)\right) = \sum_q m(V + q) = \sum_q m입니다 — 가산 개의 mm을 더한 것입니다. 문제 2의 샌드위치에 단조성을 적용하면 1=m([0,1])≤m(⋃q)≤m([−1,2])=31 = m([0, 1]) \le m\left(\bigcup_q\right) \le m([-1, 2]) = 3입니다.

  3. m>0m > 0이면 ∑qm=∞\sum_q m = \infty인데 ≤3\le 3이어야 하므로 모순입니다. m=0m = 0이면 ∑qm=0\sum_q m = 0인데 ≥1\ge 1이어야 하므로 모순입니다.

    어떤 mm도 성립하지 않으므로, 가정(가측성)이 틀렸습니다 — VV는 르베그 가측이 아닙니다.

    선택공리는 대표원을 고르는 데 정확히 한 번 쓰였을 뿐인데, 가측이 아닌 집합의 존재가 따라나옵니다.

11. 적분