조르당 분해

먼저 변동량(variation)의 가산성(additivity)을 증명합니다.

$a \le x_1 < x_2 \le b$일 때 $V_a^{x_2}(f) = V_a^{x_1}(f) + V_{x_1}^{x_2}(f)$입니다. 부등식 $\le$는 다음과 같습니다: $[a, x_2]$의 임의의 분할 $P$에 $x_1$이 없으면 추가해도 분할합이 줄어들지 않습니다 ($\lvert f(v) - f(u)\rvert \le \lvert f(x_1) - f(u)\rvert + \lvert f(v) - f(x_1)\rvert$ 이므로).

$x_1$을 포함한 분할의 분할합은 $[a, x_1]$과 $[x_1, x_2]$에서의 합으로 갈라지며, 각각은 해당 구간의 변동량 이하이므로, $P$에 대한 상한을 취하면 $\le$를 얻습니다.

역부등식 $\ge$: $[a, x_1]$의 분할 $P_1$과 $[x_1, x_2]$의 분할 $P_2$를 이어 붙이면 $[a, x_2]$의 분할 $P_1 \cup P_2$가 되고, 그 분할합은 두 구간의 분할합의 합과 같습니다.

각 구간에서 상한을 취하면 $\ge$를 얻습니다.

$f$가 유계변동이므로 모든 상한이 유한합니다.

이제 $g(x) = V_a^x(f)$는 단조증가입니다: $x_1 < x_2$이면 가산성에 의해 $g(x_2) = g(x_1) + V_{x_1}^{x_2}(f) \ge g(x_1)$ (변동량은 음이 아닙니다).

그리고 $h(x_2) - h(x_1) = (g(x_2) - g(x_1)) - (f(x_2) - f(x_1)) = V_{x_1}^{x_2}(f) - (f(x_2) - f(x_1))$인데, 분할 $\{x_1, x_2\}$ 하나만 봐도 $V_{x_1}^{x_2}(f) \ge \lvert f(x_2) - f(x_1)\rvert \ge f(x_2) - f(x_1)$이므로 $h(x_2) - h(x_1) \ge 0$ — $h$도 단조증가입니다.

$f = g - h$는 $h$의 정의 그 자체입니다.

$[a, b]$의 임의의 분할 $a = x_0 < x_1 < \dots < x_n = b$를 잡습니다.

각 조각에서 $\lvert f(x_i) - f(x_{i-1})\rvert = \lvert (g(x_i) - g(x_{i-1})) - (h(x_i) - h(x_{i-1}))\rvert \le \lvert g(x_i) - g(x_{i-1})\rvert + \lvert h(x_i) - h(x_{i-1})\rvert$ (삼각부등식). $g$와 $h$가 단조증가이므로 각 차분은 음이 아니어서 절댓값이 그대로 빠집니다.

$i = 1, \dots, n$에 대해 합하면 $\sum_{i=1}^{n} \lvert f(x_i) - f(x_{i-1})\rvert \le \sum_{i=1}^{n}(g(x_i) - g(x_{i-1})) + \sum_{i=1}^{n}(h(x_i) - h(x_{i-1}))$인데, 두 합은 각각 텔레스코핑되어 $(g(b) - g(a)) + (h(b) - h(a))$가 됩니다. 이 상한은 분할에 무관하므로 모든 분할에 대한 상한을 취하면 $V_a^b(f) \le (g(b) - g(a)) + (h(b) - h(a)) < \infty$ — $f$는 유계변동입니다.

단조증가 함수의 합은 단조증가입니다: $x_1 < x_2$이면 $g(x_1) \le g(x_2)$이고 $u(x_1) \le u(x_2)$이므로 $(g+u)(x_1) \le (g+u)(x_2)$ — $h + u$도 마찬가지입니다.

그러면 $(g + u) - (h + u) = g - h = f$ — $u$가 소거됩니다.

$u(x) = x$, $u(x) = x^2$, $u(x) = 2$ (상수) 등 단조증가 함수는 무수히 많으므로, 조르당 분해도 무수히 많습니다.

유일성을 얻으려면 정규화 조건(예: $g(a) = 0$ 같은)이 추가로 필요합니다.