기하급수: 정사각형 채우기

단위 정사각형을 남은 부분의 절반씩 채워 나가는 장면입니다. 빈틈이 매 단계 절반으로 줄어 합이 1이 됩니다.

절반을 칠하고 남은 것의 절반을 또 칠합니다. 칠한 넓이는 점점 1에 가까워집니다. 빈틈이 아무리 작아져도 완전한 1까지 한 걸음이 남습니다. 부분합으로 보면 그 한 걸음이 계속 절반으로 줄 뿐입니다. 무한히 더하면 정확히 1이 됩니다.

예를 들면, 🍰 케이크의 절반을 먹고 남은 것의 절반을 또 먹습니다. 먹는 양은 2분의 1, 4분의 1, 8분의 1로 줄지만 다 합치면 케이크 한 개에 가까워집니다.

12+14+18+⋯=1\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\cdots=1

예제

SN=1+r+⋯+rN=1−rN+11−rS_N = 1+r+\cdots+r^N = \frac{1-r^{N+1}}{1-r} (r≠1r \ne 1)를 증명하고, ∣r∣<1|r| < 1일 때 11−r\frac{1}{1-r}로 수렴함을 보이세요.

SN−rSN=1−rN+1S_N - rS_N = 1 - r^{N+1}
r=12r = \frac{1}{2}: 빈틈 (1/2)12(1/2)^{12}만 남습니다.
증명 보기

  1. SN−rSN=(1+r+⋯+rN)−(r+⋯+rN+1)=1−rN+1S_N - rS_N = (1+r+\cdots+r^N) - (r+\cdots+r^{N+1}) = 1-r^{N+1}입니다. 중간 항이 모두 소거됩니다.

  2. r≠1r \ne 1이면 SN=1−rN+11−rS_N = \frac{1-r^{N+1}}{1-r}입니다.

  3. ∣r∣<1|r| < 1이면 rN+1→0r^{N+1} \to 0이므로 SN→11−rS_N \to \frac{1}{1-r}입니다.

0.999⋯=10.999\cdots = 1임을 기하급수로 증명하세요.

0.999⋯=9∑k=1∞(110)k=9⋅1/101−1/10=10.999\cdots = 9\sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{1}{10}\right)^k = 9\cdot\frac{1/10}{1-1/10} = 1
같은 대수, r=110r = \frac{1}{10} 버전입니다.
증명 보기

  1. 0.999⋯=910+9100+⋯=9∑k=1∞(110)k0.999\cdots = \frac{9}{10}+\frac{9}{100}+\cdots = 9\sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{1}{10}\right)^k입니다.

  2. 앞 문제의 공식 ∑k=0∞rk=11−r\sum_{k=0}^{\infty} r^k = \frac{1}{1-r}에서 k=0k = 0 항 11을 빼면 ∑k=1∞rk=11−r−1=r1−r\sum_{k=1}^{\infty} r^k = \frac{1}{1-r} - 1 = \frac{r}{1-r}입니다 (또는 rr을 factor로 묶습니다). r=110r = \frac{1}{10}을 대입하면 합 =9⋅1/101−1/10=9⋅19=1= 9\cdot\frac{1/10}{1-1/10} = 9\cdot\frac{1}{9} = 1입니다.

계산형

∑n=1∞n2n=2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{2^n} = 2를 S−S2S - \frac{S}{2} 트릭으로 증명하세요.

S−S2=∑n=1∞12n=1S - \frac{S}{2} = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^n} = 1
가중치가 붙어도 같은 아이디어가 통합니다.
증명 보기

  1. 먼저 급수가 절대수렴함을 보입니다: n2n≤(34)n  ⟺  n≤(32)n\frac{n}{2^n} \le \left(\frac{3}{4}\right)^n \iff n \le \left(\frac{3}{2}\right)^n입니다.

    n=4n = 4에서 4≤(32)4=8116=5.06254 \le \left(\frac{3}{2}\right)^4 = \frac{81}{16} = 5.0625 ✓, 그리고 (32)n≥n\left(\frac{3}{2}\right)^n \ge n이면 (32)n+1=32(32)n≥32n=n+n2≥n+1\left(\frac{3}{2}\right)^{n+1} = \frac{3}{2}\left(\frac{3}{2}\right)^n \ge \frac{3}{2}n = n + \frac{n}{2} \ge n+1 (n≥2n \ge 2)이므로, 귀납법으로 모든 n≥4n \ge 4에서 n≤(32)nn \le \left(\frac{3}{2}\right)^n입니다.

    따라서 n≥4n \ge 4에서 n2n≤(34)n\frac{n}{2^n} \le \left(\frac{3}{4}\right)^n이고, ∑(34)n\sum\left(\frac{3}{4}\right)^n은 공비 34<1\frac34 < 1인 기하급수로 수렴하므로 비교판정법으로 ∑n2n\sum\frac{n}{2^n}은 절대수렴합니다.

    n2n≤(34)n(n≥4)  ⟹  ∑n=1∞n2n converges absolutely\frac{n}{2^n} \le \left(\frac{3}{4}\right)^n \quad (n \ge 4) \;\Longrightarrow\; \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{2^n} \text{ converges absolutely}

  2. S=∑n=1∞n2nS = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{2^n}라 두면, S2=∑n=1∞n2n+1=∑n=2∞n−12n\frac{S}{2} = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{2^{n+1}} = \sum_{n=2}^{\infty}\frac{n-1}{2^n}입니다 (지표 이동).

  3. 절대수렴하므로 항별 뺄셈이 정당합니다: S−S2=12+∑n=2∞12n=∑n=1∞12n=1S-\frac{S}{2} = \frac{1}{2}+\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{2^n} = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^n} = 1.

  4. 따라서 S2=1\frac{S}{2} = 1, 즉 S=2S = 2입니다.

정답

22

7. 급수