월리스 곱

유리수 인자를 하나씩 곱해 나가는 장면입니다. 실행 곱이 한 값 위아래로 흔들리며 조여듭니다.

실행 곱은 목표를 번갈아 넘고 밑돕니다. 흔들리는 폭은 인자가 쌓일수록 줄어듭니다. 그래서 곱은 하나의 값으로 모여듭니다. 그 값이 원주율을 2로 나눈 것이라는 점이 이 식의 놀라움입니다.

예를 들면, 🚗 자동차가 차선 한가운데로 들어갈 때 핸들을 좌우로 조금씩 고칩니다. 고치는 폭이 점점 줄어들며 차는 가운데로 안정됩니다.

π2=∏n=1∞(2n)2(2n−1)(2n+1)\frac{\pi}{2}=\prod_{n=1}^{\infty}\frac{(2n)^2}{(2n-1)(2n+1)}

예제

n≥2n \ge 2일 때 In=∫0π/2sin⁡nx dxI_n = \int_0^{\pi/2}\sin^n x\,dx가 점화식 In=n−1nIn−2I_n = \frac{n-1}{n}I_{n-2}를 만족함을 부분적분으로 증명하세요.

In=n−1nIn−2,I0=π2, I1=1I_n = \frac{n-1}{n}I_{n-2}, \qquad I_0=\frac{\pi}{2},\ I_1=1
이 점화식이 월리스 곱의 엔진입니다.
증명 보기

  1. n≥2n \ge 2라고 둡니다 — 그래야 sin⁡n−2x\sin^{n-2}x와 In−2I_{n-2}가 정의되고 아래 경계항 논증이 성립합니다. In=∫0π/2sin⁡n−1x⋅sin⁡x dxI_n = \int_0^{\pi/2}\sin^{n-1}x\cdot\sin x\,dx에서 u=sin⁡n−1xu = \sin^{n-1}x, dv=sin⁡x dxdv = \sin x\,dx로 부분적분하면, In=[−cos⁡xsin⁡n−1x]0π/2+(n−1)∫0π/2cos⁡2xsin⁡n−2x dxI_n = \left[-\cos x\sin^{n-1}x\right]_0^{\pi/2} + (n-1)\int_0^{\pi/2}\cos^2x\sin^{n-2}x\,dx입니다.

  2. 경계항은 n≥2n \ge 2에서 00입니다. cos⁡2x=1−sin⁡2x\cos^2x = 1-\sin^2x이므로 In=(n−1)(In−2−In)I_n = (n-1)(I_{n-2}-I_n)입니다.

  3. 정리하면 nIn=(n−1)In−2nI_n = (n-1)I_{n-2}, 즉 In=n−1nIn−2I_n = \frac{n-1}{n}I_{n-2}입니다. (I0=π2I_0 = \frac{\pi}{2}, I1=1I_1 = 1.)

n≥1n \ge 1일 때, 0≤x≤π20 \le x \le \frac{\pi}{2}에서 sin⁡2n+1x≤sin⁡2nx≤sin⁡2n−1x\sin^{2n+1}x \le \sin^{2n}x \le \sin^{2n-1}x임을 이용해 I2nI2n+1→1\frac{I_{2n}}{I_{2n+1}} \to 1을 보이고, 월리스 곱을 유도하세요.

I2nI2n+1=π2∏k=1n(2k−1)(2k+1)(2k)2=π/2Wn→1\frac{I_{2n}}{I_{2n+1}} = \frac{\pi}{2}\prod_{k=1}^{n}\frac{(2k-1)(2k+1)}{(2k)^2} = \frac{\pi/2}{W_n} \to 1
조임 정리 한 번으로 곱이 π/2\pi/2로 갑니다.
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  1. n≥1n \ge 1이라 둡니다(n=0n = 0이면 I−1I_{-1}이 필요해 성립하지 않습니다).

    적분하면 I2n+1≤I2n≤I2n−1I_{2n+1} \le I_{2n} \le I_{2n-1}이므로, 1≤I2nI2n+1≤I2n−1I2n+1=2n+12n→11 \le \frac{I_{2n}}{I_{2n+1}} \le \frac{I_{2n-1}}{I_{2n+1}} = \frac{2n+1}{2n} \to 1입니다.

    조임 정리로 I2nI2n+1→1\frac{I_{2n}}{I_{2n+1}} \to 1입니다.

  2. 앞 문제의 점화식을 반복 적용하면 I2n=π2∏k=1n2k−12kI_{2n} = \frac{\pi}{2}\prod_{k=1}^{n}\frac{2k-1}{2k}, I2n+1=∏k=1n2k2k+1I_{2n+1} = \prod_{k=1}^{n}\frac{2k}{2k+1}입니다. 나누면 I2nI2n+1=π2∏k=1n(2k−1)(2k+1)(2k)2=π/2Wn\frac{I_{2n}}{I_{2n+1}} = \frac{\pi}{2}\prod_{k=1}^{n}\frac{(2k-1)(2k+1)}{(2k)^2} = \frac{\pi/2}{W_n}입니다.

  3. 좌변이 11로 가므로 Wn→π2W_n \to \frac{\pi}{2}, 즉 ∏n=1∞(2n)2(2n−1)(2n+1)=π2\prod_{n=1}^{\infty}\frac{(2n)^2}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{\pi}{2}입니다.

P5=∏n=15(2n)2(2n−1)(2n+1)P_5 = \prod_{n=1}^{5}\frac{(2n)^2}{(2n-1)(2n+1)}를 정확한 분수로 계산하고 π2\frac{\pi}{2}와 비교하세요.

P5=6553643659≈1.50109P_5 = \frac{65536}{43659} \approx 1.50109
n=5n = 5: 아직 π/2≈1.57080\pi/2 \approx 1.57080에 못 미칩니다.
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  1. P5=221⋅3⋅423⋅5⋅625⋅7⋅827⋅9⋅1029⋅11=6553643659≈1.50109P_5 = \frac{2^2}{1\cdot3}\cdot\frac{4^2}{3\cdot5}\cdot\frac{6^2}{5\cdot7}\cdot\frac{8^2}{7\cdot9}\cdot\frac{10^2}{9\cdot11} = \frac{65536}{43659} \approx 1.50109입니다.

  2. π2≈1.57080\frac{\pi}{2} \approx 1.57080이므로 절대 오차는 약 0.06970.0697이고, 상대 오차는 0.06971.57080≈4.4%\frac{0.0697}{1.57080} \approx 4.4\%입니다.

  3. 수렴이 느립니다 — 다섯 개 항으로는 약 4.4%4.4\%의 상대 오차(절대 오차 0.06970.0697)가 남습니다. (정확한 분수 계산은 테스트로 검증했습니다.)

7. 급수