망원급수

항을 쪼개면 이웃끼리 서로 지워지는 장면입니다. 남는 것은 맨 처음과 사라져 가는 꼬리뿐입니다.

각 항은 두 분수의 차이로 갈라집니다. 앞 항의 뒤쪽과 뒤 항의 앞쪽이 똑같아서 사라집니다. 지워지고 나면 처음의 1만 남습니다. 꼬리는 점점 작아져 끝내 사라집니다. 그래서 전체 합은 정확히 1입니다.

예를 들면, 🪜 계단을 한 칸 오르고 한 칸 내려오면 제자리입니다. 오르내림이 줄줄이 이어지면 처음 위치와 마지막 위치만 남습니다.

∑n=1∞1n(n+1)=1\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)}=1
1n(n+1)=1n−1n+1\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}

예제

∑n=1N1n(n+1)=NN+1\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{n(n+1)} = \frac{N}{N+1}임을 증명하고, 급수의 합이 11임을 보이세요.

SN=(1−12)+(12−13)+⋯+(1N−1N+1)=1−1N+1S_N = \left(1-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\cdots+\left(\frac{1}{N}-\frac{1}{N+1}\right) = 1-\frac{1}{N+1}
N=24N = 24: S24=24/25=0.96S_{24} = 24/25 = 0.96, 꼬리 1/251/25만 남습니다.
증명 보기

  1. 1n(n+1)=1n−1n+1\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}입니다 (통분하면 확인됩니다).

  2. 합하면 이웃 항이 소거됩니다: SN=1−1N+1=NN+1S_N = 1 - \frac{1}{N+1} = \frac{N}{N+1}.

  3. N→∞N \to \infty에서 1N+1→0\frac{1}{N+1} \to 0이므로 급수의 합은 11입니다.

계산형

∑n=1∞1n(n+2)=34\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+2)} = \frac{3}{4}를 증명하세요.

1n(n+2)=12(1n−1n+2)\frac{1}{n(n+2)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}\right)
이웃이 아닌 두 칸 건너 항이 소거됩니다.
증명 보기

  1. 부분분수: 1n(n+2)=12(1n−1n+2)\frac{1}{n(n+2)} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}\right)입니다.

  2. SN=12[(1+12+⋯+1N)−(13+⋯+1N+2)]=12(1+12−1N+1−1N+2)S_N = \frac{1}{2}\left[\left(1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{N}\right)-\left(\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{N+2}\right)\right] = \frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{2}-\frac{1}{N+1}-\frac{1}{N+2}\right)입니다.

  3. N→∞N \to \infty에서 꼬리가 사라져 12⋅32=34\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{2} = \frac{3}{4}가 됩니다.

정답

34\frac{3}{4}

∑n=1∞(n+1−n)\sum_{n=1}^{\infty}\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)이 발산함을 보이세요.

SN=N+1−1→∞S_N = \sqrt{N+1}-1 \to \infty
망원합이지만, 소거 후 남는 것이 무한대로 갑니다.
증명 보기

  1. SN=(2−1)+(3−2)+⋯+(N+1−N)=N+1−1S_N = (\sqrt{2}-\sqrt{1})+(\sqrt{3}-\sqrt{2})+\cdots+(\sqrt{N+1}-\sqrt{N}) = \sqrt{N+1}-1입니다.

  2. N+1→∞\sqrt{N+1} \to \infty이므로 부분합은 유계가 아닙니다.

  3. 망원합이라고 항상 수렴하는 것은 아닙니다: 일반 망원합 SN=bN+1−b1S_N = b_{N+1} - b_1은 (bn)(b_n)이 유한 극한으로 수렴할 때 그때만 수렴합니다.

    여기서는 bn=n→∞b_n = \sqrt{n} \to \infty이므로 발산합니다.

    (앞 문제의 SN=1−1N+1→1≠0S_N = 1 - \frac{1}{N+1} \to 1 \ne 0이 수렴하는 예가 보여주듯, "남는 항이 00으로 간다"는 기준은 거짓입니다.)

7. 급수