횔더 부등식

$a = 0$ 또는 $b = 0$이면 양변이 자명하므로 ($0 \le$ 우변) $a, b > 0$이라 둡니다.

$ab = \exp(\log a + \log b) = \exp\left(\frac{1}{p}\log(a^p) + \frac{1}{q}\log(b^q)\right)$입니다.

$\log$는 오목함수이므로 가중 젠센 부등식 $\log\left(\frac{X}{p} + \frac{Y}{q}\right) \ge \frac{1}{p}\log X + \frac{1}{q}\log Y$ ($X, Y > 0$)가 성립합니다.

$X = a^p$, $Y = b^q$를 대입하면 $\frac{1}{p}\log(a^p) + \frac{1}{q}\log(b^q) \le \log\left(\frac{a^p}{p} + \frac{b^q}{q}\right)$입니다. 양변에 단조증가인 $\exp$를 씌우면 $\exp\left(\frac{1}{p}\log(a^p) + \frac{1}{q}\log(b^q)\right) = ab \le \frac{a^p}{p} + \frac{b^q}{q}$ — 영의 부등식 증명 완료.

등호 조건: $\log$는 엄격 오목(strictly concave)이므로 $a, b > 0$인 경우 젠센에서 등호는 $X = Y$일 때, 즉 $a^p = b^q$일 때만 성립합니다.

0인 경우도 직접 확인합니다: $a = 0$이면 좌변은 $ab = 0$이고 부등식은 $0 \le \frac{b^q}{q}$가 되는데, 등호는 $b^q = 0$, 즉 $b = 0$일 때만 성립합니다 — 이는 $a^p = b^q$ ($0 = b^q$)와 정확히 일치합니다 ($b = 0$인 경우도 대칭으로 같습니다).

따라서 모든 경우에 등호 $\iff a^p = b^q$입니다.

이 등호 조건이 아래 문제 3에서 횔더의 등호 조건으로 이어집니다.

$\|a\|_p = 0$이면 모든 $a_k = 0$이라 양변이 0이고, $\|b\|_q = 0$도 마찬가지이므로, $\|a\|_p, \|b\|_q > 0$이라 둡니다. 정규화된 수열 $A_k = |a_k|/\|a\|_p$, $B_k = |b_k|/\|b\|_q$를 정의하면 $\sum A_k^p = 1$, $\sum B_k^q = 1$입니다.

각 $k$에 영의 부등식을 적용합니다: $A_k B_k \le \frac{A_k^p}{p} + \frac{B_k^q}{q}$. $k = 1, \dots, n$에 대해 합하면 $\sum A_k B_k \le \frac{1}{p}\sum A_k^p + \frac{1}{q}\sum B_k^q = \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$입니다.

양변에 $\|a\|_p\|b\|_q$를 곱하면 $\sum |a_k b_k| = \|a\|_p\|b\|_q \sum A_k B_k \le \|a\|_p\|b\|_q$ — 횔더 부등식 증명 완료.

$p = q = 2$인 경우가 코시-슈바르츠 부등식입니다.

씬에서 $p$를 움직이면 이 우변이 어떻게 팽창·수축하는지 보입니다.

먼저 퇴화 경우를 분리합니다.

$\|a\|_p \|b\|_q = 0$이면 $a, b$ 중 하나가 0인 수열이므로 $\sum |a_k b_k| = 0$이고 우변도 $0$ — 등호가 자동으로 성립합니다.

주의: $b = 0$이고 $a \ne 0$인 경우 이 등호는 성립하지만, $|a_k|^p = C|b_k|^q$를 만족하는 상수는 $C > 0$은커녕 $C \ge 0$조차 존재하지 않습니다 (우변은 항상 0인데 어떤 $k$에서는 $|a_k|^p > 0$).

그래서 명제의 첫 번째 가지가 반드시 필요합니다.

아래 두 방향 모두에서 퇴화 경우는 이 단락으로 처리하고, 비례 가지는 $\|a\|_p, \|b\|_q > 0$인 경우로 한정합니다.

$(\Rightarrow)$ $\|a\|_p, \|b\|_q > 0$이라 두고, 전체에서 등호가 성립한다고 가정합니다.

문제 2의 증명에서 부등식은 딱 한 곳에서만 일어났습니다: 각 항에 적용한 영의 부등식 $A_k B_k \le \frac{A_k^p}{p} + \frac{B_k^q}{q}$입니다.

등호인 경우 $\sum_k A_k B_k = 1$이고, $\sum_k \left(\frac{A_k^p}{p} + \frac{B_k^q}{q}\right) = \frac{1}{p}\sum A_k^p + \frac{1}{q}\sum B_k^q = 1$은 항등식이므로, 어느 한 항이라도 영의 부등식이 엄격하면 합의 부등식도 엄격해집니다 — 따라서 모든 $k$에서 등호입니다.

문제 1의 등호 조건에 의해 $A_k^p = B_k^q$ (모든 $k$)이고, 정규화를 풀면 $\frac{|a_k|^p}{\|a\|_p^p} = \frac{|b_k|^q}{\|b\|_q^q}$ — 즉 $|a_k|^p = C|b_k|^q$ (단 $C = \|a\|_p^p/\|b\|_q^q > 0$ — 두 노름이 모두 양수이므로 — 이고 $k$와 무관)입니다.

$(\Leftarrow)$ 반대로, 두 가지 중 하나를 가정합니다.

퇴화 가지 $\|a\|_p \|b\|_q = 0$이면 첫 단락에서 이미 양변이 $0$이라 등호를 확인했습니다 — 여기에 $C = 0$인 경우도 포함됩니다: $|a_k|^p = 0 \cdot |b_k|^q$ (모든 $k$)이면 $a = 0$이라 노름으로 나눌 필요 없이 첫 가지로 끝납니다.

비례 가지에서는 어떤 $C > 0$에 대해 $|a_k|^p = C|b_k|^q$ (모든 $k$)라 가정합니다.

$\|b\|_q = 0$이면 $b = 0$이라 비례식에서 $a = 0$까지 따라와 퇴화 가지로 돌아가고, $\|a\|_p = 0$이면 $a = 0$이라 역시 퇴화 가지입니다.

남은 경우 $\|a\|_p, \|b\|_q > 0$에서는 노름으로 나누는 것이 정당합니다: 모든 $k$에 대해 합산하면 $C = \|a\|_p^p/\|b\|_q^q$이어야 하고, 정규화하면 $A_k^p = \frac{|a_k|^p}{\|a\|_p^p} = \frac{|b_k|^q}{\|b\|_q^q} = B_k^q$이므로, 문제 1의 등호 조건에 의해 모든 영의 부등식이 등호가 됩니다: $A_k B_k = \frac{A_k^p}{p} + \frac{B_k^q}{q}$.

모두 합하면 $\sum_k A_k B_k = \frac{1}{p}\sum_k A_k^p + \frac{1}{q}\sum_k B_k^q = \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$, 즉 $\sum_k |a_k b_k| = \|a\|_p \|b\|_q$ — 횔더 부등식에서 등호가 성립합니다.

씬의 $a_k = 1/k$, $b_k = 1$에서는 두 노름이 모두 양수이고 $|a_k|^p$가 상수가 아니므로 틈새가 0이 될 수 없습니다 — $p \to 1^+$에서 틈새가 0으로 가는 것은 비례 때문이 아니라 우변 자체가 무너지는 극한 현상입니다.