수렴 판정법 도구상자

급수가 수렴하는지 가리는 도구상자를 여는 장면입니다. 대표적인 도구 두 개를 직접 써 봅니다.

첫째는 이웃한 항의 비율을 보는 판정법입니다. 비율이 1보다 작은 값에 안착하면 항이 빠르게 줄어 수렴합니다. 둘째는 옆 급수와 견주는 비교 판정법입니다. 수렴하는 큰 급수 아래에 깔리면 같이 수렴합니다. 두 도구의 식은 아래에 있습니다.

예를 들면, 🍬 사탕을 매일 전날의 절반씩 나눠 줍니다. 주는 양이 일정한 비율로 줄면 나눠 준 전체 양은 유한합니다. 비율이 줄지 않으면 나눠 주기가 끝나지 않습니다.

rk=ak+1ak→L<1 ⇒ ∑ak convergesr_k=\frac{a_{k+1}}{a_k}\to L<1\ \Rightarrow\ \sum a_k\ \text{converges}
1k2+1<1k2,∑k=1∞1k2=π26\frac{1}{k^2+1}<\frac{1}{k^2},\quad\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^2}=\frac{\pi^2}{6}

이 씬이 포함된 학습 경로

예제

비율 판정법을 진술하고, ∑k=1∞1k!\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k!}가 수렴함을 증명하세요.

rk=ak+1ak=1k+1→0<1r_k=\frac{a_{k+1}}{a_k}=\frac{1}{k+1}\to 0<1
n=12n = 12: r12=1/13≈0.0769r_{12} = 1/13 \approx 0.0769 — 0을 향해 빠르게 떨어집니다.
증명 보기

  1. 비율 판정법: ak>0a_k > 0이고 rk=ak+1ak→L<1r_k = \frac{a_{k+1}}{a_k} \to L < 1이면 ∑ak\sum a_k는 수렴합니다.

    실제로 L<ρ<1L < \rho < 1인 ρ\rho를 잡으면 어떤 KK가 있어 k≥Kk \ge K에서 rk≤ρr_k \le \rho이므로 ak+1≤ρaka_{k+1} \le \rho a_k입니다.

    귀납법으로 aK+j≤ρjaKa_{K+j} \le \rho^j a_K (j≥0j \ge 0)를 얻으므로, 꼬리는 aK+j≤aKρ−KρK+ja_{K+j} \le a_K\rho^{-K}\rho^{K+j}로서 수렴하는 기하급수 ∑ρk\sum \rho^k의 상수배 아래에 깔립니다.

  2. ak=1k!a_k = \frac{1}{k!}이면 rk=k!(k+1)!=1k+1→0r_k = \frac{k!}{(k+1)!} = \frac{1}{k+1} \to 0입니다: r1=12,r2=13,r3=14,r4=15,r5=16r_1 = \frac{1}{2}, r_2 = \frac{1}{3}, r_3 = \frac{1}{4}, r_4 = \frac{1}{5}, r_5 = \frac{1}{6}.

  3. L=0<1L = 0 < 1이므로 비율 판정법으로 수렴합니다. (합은 e−1≈1.71828e - 1 \approx 1.71828입니다 — k=0k = 0인 항이 11이므로.)

∑k=1∞k2k\sum_{k=1}^{\infty}\frac{k}{2^k}가 비율 판정법으로 수렴함을 증명하세요.

rk=k+12k→12<1r_k=\frac{k+1}{2k}\to\frac{1}{2}<1
n=12n = 12: r12=13/24≈0.5417r_{12} = 13/24 \approx 0.5417 — 12\frac{1}{2}를 향해 내려갑니다.
증명 보기

  1. ak=k2k>0a_k = \frac{k}{2^k} > 0입니다. rk=ak+1ak=k+12k+1⋅2kk=k+12kr_k = \frac{a_{k+1}}{a_k} = \frac{k+1}{2^{k+1}}\cdot\frac{2^k}{k} = \frac{k+1}{2k}입니다.

  2. k+12k=12+12k→12\frac{k+1}{2k} = \frac{1}{2}+\frac{1}{2k} \to \frac{1}{2}입니다: r1=1,r2=34,r3=23,r4=58,r5=35r_1 = 1, r_2 = \frac{3}{4}, r_3 = \frac{2}{3}, r_4 = \frac{5}{8}, r_5 = \frac{3}{5}에서 시작해 12\frac{1}{2}로 내려갑니다.

  3. L=12<1L = \frac{1}{2} < 1이므로 비율 판정법으로 수렴합니다. (합이 22라는 것은 기하급수 장면에서 보였습니다.)

비교 판정법을 진술하고, ∑k=1∞1k2+1\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^2+1}의 수렴을 증명하세요.

1k2+1<1k2,∑k=1∞1k2=π26\frac{1}{k^2+1}<\frac{1}{k^2},\qquad\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^2}=\frac{\pi^2}{6}
n=12n = 12: 모든 막대에서 1k2+1<1k2\frac{1}{k^2+1} < \frac{1}{k^2} — 수렴하는 급수 아래에 깔리므로 수렴합니다.
증명 보기

  1. 비교 판정법: 0≤ak≤bk0 \le a_k \le b_k이고 ∑bk\sum b_k가 수렴하면 ∑ak\sum a_k도 수렴합니다 — 부분합이 단조증가하면서 ∑bk\sum b_k의 합으로 유계이기 때문입니다.

  2. 모든 k≥1k \ge 1에서 분모가 더 크므로 1k2+1<1k2\frac{1}{k^2+1} < \frac{1}{k^2}입니다.

  3. ∑k=1∞1k2=π26\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^2} = \frac{\pi^2}{6}은 수렴합니다 (바젤 장면의 결과). 따라서 비교 판정법으로 ∑k=1∞1k2+1\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^2+1}도 수렴합니다.

7. 급수