토매 함수 | Real Analysis

팝콘처럼 점이 튀는 토매 함수를 보는 씬입니다. 유리수에서는 점이 솟고, 무리수에서는 바닥에 붙습니다.

높이 솟는 점은 드뭅니다. 어떤 높이를 정해도, 그 높이에 닿는 점은 유한 개뿐입니다. 그래서 무리수 근처에서는 높은 점을 피해 좁은 구간을 잡을 수 있습니다. 무리수에서는 연속이고 유리수에서는 불연속인 이유입니다.

예를 들면, 🍬 사탕 자루를 떠올려 보세요. 큰 사탕은 몇 개뿐이라 금방 셀 수 있습니다. 작은 사탕만 모인 구석은 거의 평평합니다. 무리수 근처가 그렇습니다. 큰 점프가 없어서 함수가 조용히 붙어 있습니다.

예제

토메 함수 $f$ ( $f(p/q) = 1/q$ (기약분수), 무리수에서 $f = 0$ )가 모든 유리수 $x_0$ 에서 불연속임을 완전히 증명하세요.

x_0 = \frac{p}{q}\ \text{(lowest terms)} \Rightarrow f(x_0) = \frac{1}{q} > 0, \quad \varepsilon = \frac{1}{2q}

x_0 = 1/2

(유리수)에 중심을 둔 보기:

f(1/2) = 1/2

이지만

1/2

에 아무리 가까워도

f = 0

인 무리수가 있어,

\varepsilon = 1/4

에 대한

\delta

가 존재하지 않습니다.

증명 보기

$x_0 = p/q$ 를 기약분수라 두면 $f(x_0) = 1/q > 0$ 입니다. $\varepsilon = 1/(2q) > 0$ 으로 둡니다.
유리수의 조밀성의 쌍대 — 무리수도 조밀하므로 — 임의의 $\delta > 0$ 에 대해 구간 $(x_0 - \delta, x_0 + \delta)$ 안에는 무리수 $x$ 가 존재합니다.
무리수 $x$ 에서는 $f(x) = 0$ 이므로 $|f(x) - f(x_0)| = 1/q > 1/(2q) = \varepsilon$ 입니다. 즉, 어떤 $\delta > 0$ 를 잡아도 $|x - x_0| < \delta$ 이면서 $|f(x) - f(x_0)| \ge \varepsilon$ 인 $x$ 가 존재하므로, $\varepsilon$ - $\delta$ 정의에 의해 $f$ 는 $x_0$ 에서 연속이 아닙니다.
$x_0$ 는 임의의 유리수였으므로, 토메 함수는 모든 유리수에서 불연속입니다. 씬에서 중심을 유리수(예: $1/2$ )에 두면 $\delta = 0$ 이 되어 위의 논증이 그대로 드러납니다.

토메 함수가 모든 무리수 $x_0$ 에서 연속임을 $\varepsilon$ - $\delta$ 논증으로 완전히 증명하세요.

S_\varepsilon = \left\{x \in [0,1] : f(x) \ge \varepsilon\right\} = \left\{\frac{p}{q} : q \le \frac{1}{\varepsilon}\right\}\ \text{finite}

무리수

x_0 \approx 0.618

에 중심을 둔 보기:

\varepsilon = 0.1

이상으로 솟은 점은

q \le 10

인 유한개의 점뿐이고,

\delta

는 그중 가장 가까운 점까지의 거리입니다.

증명 보기

$x_0$ 를 무리수, $\varepsilon > 0$ 을 임의로 둡니다. $f(x) \ge \varepsilon$ 인 점들의 집합 $S_\varepsilon = \{x \in [0,1] : f(x) \ge \varepsilon\}$ 을 봅니다.
$f$ 의 정의에 의해 $S_\varepsilon$ 의 원소는 $1/q \ge \varepsilon$ , 즉 $q \le 1/\varepsilon$ 인 기약분수 $p/q$ 뿐이므로, $S_\varepsilon$ 은 유한집합입니다.
퇴화 경우: $S_\varepsilon = \varnothing$ 이면 (이는 $\varepsilon > 1$ 일 때 일어납니다 — 모든 $x$ 에서 $f(x) \le 1 < \varepsilon$ 이므로) 임의의 $\delta > 0$ (예: $\delta = 1$ )로 충분합니다. 이하 $S_\varepsilon \ne \varnothing$ 라 둡니다. $x_0$ 는 무리수이므로 $x_0 \notin S_\varepsilon$ 입니다.
따라서 유한개의 양수 $\{|x - x_0| : x \in S_\varepsilon\}$ 의 최솟값 $\delta = \min_{x \in S_\varepsilon} |x - x_0|$ 는 $0$ 보다 큽니다. 대우로 논증합니다: $x \in S_\varepsilon$ 이면 정의에 의해 $|x - x_0| \ge \delta$ 입니다. 따라서 $|x - x_0| < \delta$ 이면 $x \notin S_\varepsilon$ — 즉 $f(x) < \varepsilon$ 입니다 ( $x = x_0$ 인 경우 $f(x_0) = 0 < \varepsilon$ 로 자명).
$|f(x) - f(x_0)| = |f(x) - 0| = f(x) < \varepsilon$ 이므로 $f$ 는 $x_0$ 에서 연속입니다. $x_0$ 는 임의의 무리수였으므로 토메 함수는 모든 무리수에서 연속입니다 — 씬의 $\delta$ 표시가 바로 이 최솟값입니다.

$[0,1]$ 위에서 토메 함수가 연속함수들의 각 점별 극한(pointwise limit)이 됨을 보이세요 — 즉 베어 1급(Baire class 1) 함수임을 완전히 증명하세요.

f_n(x) = \max_{\substack{p/q \in [0,1]\ \text{lowest terms},\ q \le n}} \max\left(0, \frac{1}{q} - n\left|x - \frac{p}{q}\right|\right) \to f(x)\ \forall x \in [0,1]

Q = 30

\varepsilon = 0.05

: 연속인 텐트 함수들의 각 점별 극한이 이 팝콘 점들을 그려냅니다 — 베어 1급 함수는 조밀한 연속점 집합을 가져야 하며, 토메 함수의 연속점은 무리수 전체(조밀한

G_\delta

)입니다.

증명 보기

도메인을 $[0,1]$ 로 제한합니다 (이 제한 없이는 아래 유한성이 성립하지 않습니다). 각 $n \ge 1$ 에 대해 $S_n = \{p/q \in [0,1] : 1 \le q \le n,\ \gcd(p,q) = 1\}$ 이라 둡니다. 이는 유한집합입니다: $0 \le p \le q \le n$ 인 쌍 $(p, q)$ 가 유한개뿐이기 때문입니다.
$f_n(x) = \max_{r \in S_n} \max(0, 1/q(r) - n|x - r|)$ ( $r = p/q$ 의 분모를 $q(r)$ )로 $[0,1]$ 위에서 정의합니다. 각 텐트 $x \mapsto \max(0, 1/q - n|x - r|)$ 는 연속이고 유한개의 최댓값도 연속이므로, $f_n$ 은 연속함수입니다.
$x = a/b \in [0,1]$ 를 기약분수라 두면, $n \ge b$ 일 때 $r = x \in S_n$ 인 텐트가 값 $1/b$ 를 주고, 다른 $r' = p/q \in S_n$ , $r' \ne x$ ( $q \le n$ )에 대해서는 $|x - r'| \ge 1/(bq)$ (분모가 $b, q$ 인 서로 다른 유리수는 $1/(bq)$ 이상 떨어져 있음)이므로 $n|x - r'| \ge n/(bq) \ge 1/q$ — 텐트 값이 0이 됩니다. 따라서 $n \ge b$ 에서 $f_n(x) = 1/b = f(x)$ 입니다.
$x \in [0,1]$ 가 무리수이면 $f(x) = 0$ 입니다. $M \ge 1$ 을 고정하면, 분모 $q \le M$ 인 텐트는 $|x - r|$ 이 양의 하한을 가지므로( $[0,1]$ 안에서 분모 $\le M$ 인 유리수는 유한개뿐이고 어느 것도 무리수 $x$ 와 같지 않음) $n$ 이 크면 모두 0이 되고, $q > M$ 인 텐트는 값이 $1/q < 1/M$ 이하입니다.
따라서 $\limsup_{n \to \infty} f_n(x) \le 1/M$ — $M$ 이 임의이므로 $f_n(x) \to 0 = f(x)$ 입니다. $[0,1]$ 의 모든 $x$ 에서 $f_n \to f$ 이므로 토메 함수는 $[0,1]$ 위에서 베어 1급입니다.