4. 연속함수

ε-δ로 연속성을 정의하고, 균등연속·중간값 정리·최대최소 정리까지 연속함수의 성질을 탐구합니다.

• ε-δ 정의 — 극한의 엄밀한 정의를 눈으로 확인하는 씬입니다. ε 띠와 δ 띠를 겹쳐 놓고, 약속이 정말 지켜지는지 격자로 검사합니다. 핵심은 순서입니다. 먼저 상대가 오차 범위를 정합니다. 그다음 그에 맞는 입력 범위를 찾아야 합니다. 입력이 그 범위 안에 있으면, 출력은 오차 범위 안에 머뭅니다. 아래 식이 그 약속입니다. 여기 직선에서는 입력 범위를 오차 범위의 절반으로 잡으면 됩니다. 예를 들면, ⚽ 공을 📦 상자에 던져 넣는 놀이를 해보세요. 친구가 상자를 점점 작은 것으로 바꿔도 됩니다. 충분히 가까이 서면 매번 넣을 수 있습니다. 상자가 작을수록, 서는 자리는 더 가까워야 합니다.
• 연속의 정의 — 연속이란 무엇인지 확인하는 씬입니다. 점 a를 움직여 보고, 한 점의 값만 들어 올려 연속이 깨지는 모습도 봅니다. 연속의 조건은 단 하나입니다. 옆에서 다가간 높이와 그 점의 높이가 같아야 합니다. 한 점의 값만 바꿔도 이 일치는 깨집니다. 그래서 그래프가 그 점에서 끊깁니다. 예를 들면, ✏️ 연필을 종이에서 떼지 않고 그래프를 그어 보세요. 한 번에 그려지면 연속입니다. 한 점만 위로 튀어 있으면, 거기서 연필을 들어 옮겨야 합니다.
• 토매 함수 — 팝콘처럼 점이 튀는 토매 함수를 보는 씬입니다. 유리수에서는 점이 솟고, 무리수에서는 바닥에 붙습니다. 높이 솟는 점은 드뭅니다. 어떤 높이를 정해도, 그 높이에 닿는 점은 유한 개뿐입니다. 그래서 무리수 근처에서는 높은 점을 피해 좁은 구간을 잡을 수 있습니다. 무리수에서는 연속이고 유리수에서는 불연속인 이유입니다. 예를 들면, 🍬 사탕 자루를 떠올려 보세요. 큰 사탕은 몇 개뿐이라 금방 셀 수 있습니다. 작은 사탕만 모인 구석은 거의 평평합니다. 무리수 근처가 그렇습니다. 큰 점프가 없어서 함수가 조용히 붙어 있습니다.
• 연속성의 세 가지 얼굴 — 연속성을 세 가지 방법으로 확인하는 씬입니다. ε-δ 논법, 수열 판정, 열린집합의 역상을 나란히 비교합니다. 세 얼굴은 같은 말을 합니다. 띠로 재든, 수열로 따라가든, 열린집합을 당겨 보든 판정은 같습니다. 매끄러운 곡선은 셋 다 통과합니다. 점프 함수는 셋 다 같은 자리에서 걸립니다. 예를 들면, 🪞 거울 속 모습을 세 방향에서 본다고 해보세요. 앞에서 봐도, 옆에서 봐도 같은 물체입니다. 연속성도 같습니다. 확인하는 방법이 달라도, 묻는 것은 하나입니다.
• 단조함수의 불연속점 — 단조함수의 불연속점을 보는 씬입니다. 한 방향으로만 오르는 함수라, 끊기는 곳은 전부 점프뿐입니다. 큰 점프는 몇 개 없습니다. 전체 오름폭이 정해져 있기 때문입니다. 점프 크기에 문턱을 걸면, 문턱을 넘는 점은 유한 개뿐입니다. 문턱을 계속 낮춰 세어 가면, 불연속점은 셀 수 있는 개수만 나옵니다. 예를 들면, 🪜 계단 전체 높이가 3m라고 해보세요. 30cm가 넘는 단은 아홉 개를 넘지 않습니다. 3cm짜리 단까지 세도 사정은 같습니다. 단은 많아도 하나씩 셀 수 있습니다.
• 균등연속 — 균등연속을 확인하는 씬입니다. 점 x를 옮기며, 필요한 δ가 점마다 어떻게 달라지는지 봅니다. 일반 연속에서는 δ가 점마다 달라도 됩니다. 균등연속에서는 δ 하나가 모든 점에서 통해야 합니다. 곡선이 가팔라지는 곳에서는 δ가 자꾸 작아집니다. 끝없이 가팔라지면, 전체를 감당할 δ는 없습니다. 예를 들면, 반 친구 전원이 하나의 📏 자를 나눠 쓴다고 해보세요. 누구 차례든 그 자로 재야 합니다. 한 명에게라도 자가 너무 짧으면, 그 차례에서 측정이 틀어집니다.
• 중간값 정리 — 중간값 정리를 확인하는 씬입니다. 목표 높이를 움직이며, 그래프가 그 높이를 건너는 점을 찾습니다. 끊기지 않은 길은 중간을 건너뛸 수 없습니다. 낮은 곳에서 높은 곳으로 가면, 사이 높이를 어딘가에서 반드시 지납니다. 그래프가 끊기면 이 약속은 깨집니다. 예를 들면, 🌡️ 온도계 수은주를 보세요. 아침 10도에서 낮 20도로 오르는 동안, 15도를 반드시 지납니다. 수은주는 순간이동을 하지 않으니까요.
• 최댓값 정리 — 최댓값 정리를 확인하는 씬입니다. 닫힌 구간에서는 최댓값에 닿고, 열린 구간과 불연속인 경우에는 왜 못 닿는지도 봅니다. 조건은 두 가지입니다. 구간이 닫혀 있어야 하고, 그래프가 끊기지 않아야 합니다. 하나라도 빠지면 가장 높은 점에 다가만 가고 닿지 못할 수 있습니다. 그래서 두 조건이 모두 필요합니다. 예를 들면, 🧑 등산객이 산길을 따라 정상으로 간다고 해보세요. 길이 끝까지 이어져 있으면, 가장 높은 곳에 발을 딛는 순간이 옵니다. 정상 직전에서 길이 끊기면, 아무리 가까워도 닿지 못합니다.
• 균등수렴 vs 점별수렴 — 점별수렴과 균등수렴의 차이를 보는 씬입니다. 거듭제곱 곡선들이 극한에서 어떻게 끊기는지 확인합니다. 점별수렴은 점마다 따로 기다리는 것입니다. 균등수렴은 전 구간이 한꺼번에 다가가는 것입니다. 한 점이라도 끝까지 버티면 균등수렴이 아닙니다. 그래서 연속인 곡선들의 극한이 끊길 수 있습니다. 예를 들면, 🧑 친구들이 한 줄로 서서 동시에 앉는다고 해보세요. 전원이 앉아야 끝난 것입니다. 한 명만 끝까지 서 있으면, 줄 전체는 아직 다 앉지 않은 셈입니다.