라베 판정법

비율 판정법이 항복하는 자리에서 한 단계 더 깊이 파는 장면입니다. 비율이 1로 붙어 버릴 때 쓰는 도구입니다.

비율이 1에 가까워지는 속도까지 재면 판정이 살아납니다. 그 속도를 재는 양이 아래 첫 번째 식입니다. 이 양이 1보다 위에 안착하면 수렴입니다. 1보다 아래에 안착하면 발산입니다.

예를 들면, 📏 자의 눈금이 굵어서 두 길이를 가리지 못하는 때가 있습니다. 눈금이 촘촘한 자로 바꾸면 비로소 길이가 갈립니다. 라베 판정법이 바로 그 촘촘한 자입니다.

L=lim⁡n→∞n(anan+1−1)L=\lim_{n\to\infty}n\left(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1\right)
L>1⇒∑an converges,L<1⇒ divergesL>1\Rightarrow\sum a_n\ \text{converges},\quad L<1\Rightarrow\ \text{diverges}

이 씬이 포함된 학습 경로

예제

라베 판정법을 진술하고, pp-급수와의 비교를 이용해 증명하세요.

L=lim⁡k→∞k(akak+1−1),L>1⇒∑ak converges,L<1⇒∑ak divergesL=\lim_{k\to\infty}k\left(\frac{a_k}{a_{k+1}}-1\right),\qquad L>1\Rightarrow\sum a_k\ \text{converges},\quad L<1\Rightarrow\sum a_k\ \text{diverges}
n=100n = 100: R100≈1.4975R_{100} \approx 1.4975 — 경계 11 위에 안착하며 32\frac{3}{2}를 향해 올라갑니다.
증명 보기

  1. 라베 판정법: ak>0a_k > 0이고 L=lim⁡k→∞k(akak+1−1)L = \lim_{k\to\infty} k\left(\frac{a_k}{a_{k+1}} - 1\right)가 존재하면, L>1L > 1일 때 ∑ak\sum a_k는 수렴하고, L<1L < 1일 때 ∑ak\sum a_k는 발산합니다. (이하 모든 부등식은 충분히 큰 kk에서 성립한다고 읽으세요.)

  2. 기준으로 쓸 비교 급수는 pp-급수 bk=1krb_k = \frac{1}{k^r}입니다. bkbk+1=(k+1k)r=(1+1k)r\frac{b_k}{b_{k+1}} = \left(\frac{k+1}{k}\right)^r = \left(1+\frac{1}{k}\right)^r이고, (1+1k)r=1+rk+o(1k)\left(1+\frac{1}{k}\right)^r = 1+\frac{r}{k}+o\left(\frac{1}{k}\right)이므로 k(bkbk+1−1)→rk\left(\frac{b_k}{b_{k+1}}-1\right) \to r입니다 — 즉 bkb_k는 라베 값이 정확히 rr인 급수입니다.

  3. L>1L > 1인 경우: 1<r<L1 < r < L인 rr을 잡습니다.

    k(akak+1−1)k\left(\frac{a_k}{a_{k+1}}-1\right)는 LL로, k(bkbk+1−1)k\left(\frac{b_k}{b_{k+1}}-1\right)는 rr로 수렴하므로, 결국 akak+1−1>bkbk+1−1\frac{a_k}{a_{k+1}}-1 > \frac{b_k}{b_{k+1}}-1, 즉 ak+1ak<bk+1bk\frac{a_{k+1}}{a_k} < \frac{b_{k+1}}{b_k}가 성립합니다.

    ak+1bk<akbk+1a_{k+1}b_k < a_k b_{k+1}, 즉 ak+1bk+1<akbk\frac{a_{k+1}}{b_{k+1}} < \frac{a_k}{b_k}이므로 akbk\frac{a_k}{b_k}는 단조감소하고 ak≤Cbka_k \le Cb_k가 되어, 수렴하는 ∑bk\sum b_k (r>1r > 1)와 비교 판정법으로 ∑ak\sum a_k가 수렴합니다.

  4. L<1L < 1인 경우: L<r<1L < r < 1인 rr을 잡으면 부등식이 뒤집혀 ak+1ak>bk+1bk\frac{a_{k+1}}{a_k} > \frac{b_{k+1}}{b_k}가 되고, akbk\frac{a_k}{b_k}는 단조증가하여 ak≥cbka_k \ge cb_k (c>0c > 0)를 얻습니다. 발산하는 ∑bk\sum b_k (r<1r < 1)와의 비교 판정법으로 ∑ak\sum a_k가 발산합니다.

uk=(2kk)4ku_k = \frac{\binom{2k}{k}}{4^k}에 대해 ak=uk2k+1a_k = \frac{u_k}{2k+1}이라 둘 때, ∑k=1∞ak\sum_{k=1}^{\infty} a_k가 수렴함을 라베 판정법으로 증명하세요. 비율 판정법이 왜 침묵하는지도 보이세요.

akak+1=2(k+1)(2k+3)(2k+1)2,Rk=k(akak+1−1)=k(6k+5)4k2+4k+1→32>1\frac{a_k}{a_{k+1}}=\frac{2(k+1)(2k+3)}{(2k+1)^2},\qquad R_k=k\left(\frac{a_k}{a_{k+1}}-1\right)=\frac{k(6k+5)}{4k^2+4k+1}\to\frac{3}{2}>1
n=30n = 30: R30≈1.4915R_{30} \approx 1.4915 (경계 11 위), r30≈0.9526r_{30} \approx 0.9526 — rkr_k는 1에 달라붙지만 RkR_k는 1 위에 안착합니다.
증명 보기

  1. 먼저 비율부터 계산합니다. uk+1uk=(2k+2)(2k+1)(k+1)2⋅14=2k+12k+2\frac{u_{k+1}}{u_k} = \frac{(2k+2)(2k+1)}{(k+1)^2}\cdot\frac{1}{4} = \frac{2k+1}{2k+2}이므로, akak+1=ukuk+1⋅2k+32k+1=2k+22k+1⋅2k+32k+1=2(k+1)(2k+3)(2k+1)2\frac{a_k}{a_{k+1}} = \frac{u_k}{u_{k+1}}\cdot\frac{2k+3}{2k+1} = \frac{2k+2}{2k+1}\cdot\frac{2k+3}{2k+1} = \frac{2(k+1)(2k+3)}{(2k+1)^2}입니다.

  2. 분자를 전개하면 2(k+1)(2k+3)=4k2+10k+62(k+1)(2k+3) = 4k^2+10k+6이고 분모는 (2k+1)2=4k2+4k+1(2k+1)^2 = 4k^2+4k+1이므로, akak+1−1=6k+54k2+4k+1\frac{a_k}{a_{k+1}}-1 = \frac{6k+5}{4k^2+4k+1}입니다. 따라서 Rk=k6k+54k2+4k+1→64=32>1R_k = k\frac{6k+5}{4k^2+4k+1} \to \frac{6}{4} = \frac{3}{2} > 1이며, 라베 판정법으로 ∑ak\sum a_k는 수렴합니다.

  3. 한편 ak+1ak=4k2+4k+14k2+10k+6→1\frac{a_{k+1}}{a_k} = \frac{4k^2+4k+1}{4k^2+10k+6} \to 1이므로 비율 판정법은 극한이 11이라 아무 결론도 내지 못합니다: r1=920,r2=2542,r3=4972r_1 = \frac{9}{20}, r_2 = \frac{25}{42}, r_3 = \frac{49}{72}에서 시작해 위로 기어오릅니다. 라베의 RkR_k가 비율보다 한 단계 더 깊이 들여다본 것입니다.

k≥2k \ge 2에서 ak=1k(ln⁡k)pa_k = \frac{1}{k(\ln k)^p}라 둘 때, 모든 pp에 대해 라베 극한이 11임을 보이고, 이 경계가 진짜로 결론을 내지 못함을 — ∑k≥21k(ln⁡k)2\sum_{k\ge 2}\frac{1}{k(\ln k)^2}는 수렴하고 ∑k≥21kln⁡k\sum_{k\ge 2}\frac{1}{k\ln k}는 발산하므로 — 적분 판정법으로 증명하세요.

k(akak+1−1)=1+pln⁡k+o(1)→1(for every p)k\left(\frac{a_k}{a_{k+1}}-1\right)=1+\frac{p}{\ln k}+o(1)\to 1\qquad(\text{for every }p)
n=200n = 200: p=2p = 2는 R200≈1.3786R_{200} \approx 1.3786, p=1p = 1은 R200≈1.1892R_{200} \approx 1.1892 — 둘 다 11로 기어내려갑니다.
증명 보기

  1. akak+1=k+1k(ln⁡(k+1)ln⁡k)p=(1+1k)(1+ln⁡(1+1/k)ln⁡k)p\frac{a_k}{a_{k+1}} = \frac{k+1}{k}\left(\frac{\ln(k+1)}{\ln k}\right)^p = \left(1+\frac{1}{k}\right)\left(1+\frac{\ln(1+1/k)}{\ln k}\right)^p입니다. ln⁡(1+1k)=1k+O(1k2)\ln\left(1+\frac{1}{k}\right) = \frac{1}{k}+O\left(\frac{1}{k^2}\right)이고 (1+x)p=1+px+o(x)(1+x)^p = 1+px+o(x)이므로, 괄호 안은 1+pkln⁡k+o(1k)1+\frac{p}{k\ln k}+o\left(\frac{1}{k}\right)가 됩니다.

  2. 곱하면 akak+1=1+1k+pkln⁡k+o(1k)\frac{a_k}{a_{k+1}} = 1+\frac{1}{k}+\frac{p}{k\ln k}+o\left(\frac{1}{k}\right)이므로, k(akak+1−1)=1+pln⁡k+o(1)→1k\left(\frac{a_k}{a_{k+1}}-1\right) = 1+\frac{p}{\ln k}+o(1) \to 1입니다 — pp가 무엇이든 라베 극한은 11로 같습니다.

  3. 그러나 두 급수의 운명은 다릅니다.

    적분 판정법의 가설부터 확인합니다: x≥2x \ge 2에서 xx와 (ln⁡x)p(\ln x)^p (p=1,2p = 1, 2)는 모두 양이고 증가하므로 그 곱 x(ln⁡x)px(\ln x)^p도 증가하고, 따라서 피적분함수 1x(ln⁡x)p\frac{1}{x(\ln x)^p}는 양이고 감소합니다.

    t=ln⁡xt = \ln x로 치환하면 ∫2∞dxx(ln⁡x)p=∫ln⁡2∞dttp\int_2^{\infty}\frac{dx}{x(\ln x)^p} = \int_{\ln 2}^{\infty}\frac{dt}{t^p}이므로, 적분 판정법으로 ∑k≥21k(ln⁡k)2\sum_{k\ge 2}\frac{1}{k(\ln k)^2}는 ∫ln⁡2∞t−2 dt=1ln⁡2\int_{\ln 2}^{\infty}t^{-2}\,dt = \frac{1}{\ln 2}로 수렴하고, ∑k≥21kln⁡k\sum_{k\ge 2}\frac{1}{k\ln k}는 ∫ln⁡2∞t−1 dt=∞\int_{\ln 2}^{\infty}t^{-1}\,dt = \infty로 발산합니다.

    L=1L = 1에서는 라베 판정법이 진짜로 침묵합니다.

7. 급수