이중수열과 반복극한

(i) $m$을 고정합니다. $m + n > n$이므로

$0 < a_{m,n} = \frac{m}{m+n} < \frac{m}{n}$.

$\varepsilon > 0$이 주어지면 $N > \frac{m}{\varepsilon}$로 잡습니다. $n > N$이면 $\frac{m}{n} < \varepsilon$이라서 $|a_{m,n} - 0| < \varepsilon$입니다.

따라서 모든 $m$에 대해 $\lim_{n\to\infty} a_{m,n} = 0$이고, 안쪽 극한이 상수 $0$이므로 $\lim_{m\to\infty}\lim_{n\to\infty} a_{m,n} = \lim_{m\to\infty} 0 = 0$입니다.

(ii) $n$을 고정합니다. $a_{m,n} = \frac{m}{m+n} = 1 - \frac{n}{m+n}$이므로

$|a_{m,n} - 1| = \frac{n}{m+n} < \frac{n}{m}$.

$\varepsilon > 0$이 주어지면 $N > \frac{n}{\varepsilon}$로 잡습니다. $m > N$이면 $\frac{n}{m} < \varepsilon$이라서 $|a_{m,n} - 1| < \varepsilon$입니다.

따라서 모든 $n$에 대해 $\lim_{m\to\infty} a_{m,n} = 1$이고, $\lim_{n\to\infty}\lim_{m\to\infty} a_{m,n} = \lim_{n\to\infty} 1 = 1$입니다.

(iii) 이중극한 $L$이 존재한다고 가정하고 모순을 이끌어 냅니다. $\varepsilon = \frac{1}{8}$에 대해, 어떤 $N$이 존재해서 $m, n > N$이면 $|a_{m,n} - L| < \frac{1}{8}$입니다.

대각선 위의 점 $(k, k)$ ($k > N$)에서는 $a_{k,k} = \frac{k}{k+k} = \frac{1}{2}$이므로 $\left|\frac{1}{2} - L\right| < \frac{1}{8}$, 즉 $L > \frac{3}{8}$입니다.

한편 점 $(k, k^2)$ ($k > \max(N, 8)$)에서는 $a_{k,k^2} = \frac{k}{k+k^2} = \frac{1}{1+k} < \frac{1}{9} < \frac{1}{8}$이고 $|a_{k,k^2} - L| < \frac{1}{8}$이므로 $L < \frac{1}{8} + \frac{1}{8} = \frac{1}{4}$입니다.

$\frac{1}{4} < \frac{3}{8}$이라 두 결론이 충돌합니다. 따라서 이중극한은 존재하지 않습니다.

참고: (i)과 (ii)의 반복극한이 서로 다르다는 것만으로도, 문제 2 정리의 대우에 의해 이중극한의 부재가 따라 나옵니다.

$\varepsilon > 0$을 고정합니다. 이중극한의 정의를 $\frac{\varepsilon}{2}$에 적용하면, 어떤 $N$이 존재해서

$m, n > N \implies |a_{m,n} - L| < \frac{\varepsilon}{2}$

를 만족합니다.

이제 $m > N$을 고정합니다. 모든 $n > N$에 대해 $|a_{m,n} - L| < \frac{\varepsilon}{2}$입니다.

$|b_m - L| \le \frac{\varepsilon}{2}$임을 보입니다. 반대로 $|b_m - L| > \frac{\varepsilon}{2}$라 가정하고 $\delta = |b_m - L| - \frac{\varepsilon}{2} > 0$으로 둡니다.

$a_{m,n} \to b_m$ ($n \to \infty$)이므로, 충분히 큰 $n$ (특히 $n > N$인 $n$)에 대해 $|a_{m,n} - b_m| < \delta$입니다.

그러면 $|a_{m,n} - L| \ge |b_m - L| - |a_{m,n} - b_m| > |b_m - L| - \delta = \frac{\varepsilon}{2}$가 되어 앞 단계와 모순됩니다.

따라서 $|b_m - L| \le \frac{\varepsilon}{2} < \varepsilon$입니다.

즉 모든 $m > N$에 대해 $|b_m - L| < \varepsilon$입니다.

$\varepsilon > 0$은 임의였으므로 $\lim_{m\to\infty} b_m = L$, 즉 $\lim_{m\to\infty}\lim_{n\to\infty} a_{m,n} = L$입니다.

역할을 바꾼 같은 논증으로, 각 $n$마다 $\lim_{m\to\infty} a_{m,n}$이 존재하면 $\lim_{n\to\infty}\lim_{m\to\infty} a_{m,n} = L$입니다.

따라서 이중극한이 존재하고 두 반복극한이 모두 존재하면 셋은 모두 같습니다.

(i) 모든 $m, n$에 대해 $|a_{m,n} - 0| = \frac{|(-1)^n|}{m} = \frac{1}{m}$입니다 — $n$에는 전혀 의존하지 않습니다.

$\varepsilon > 0$이 주어지면 $N > \frac{1}{\varepsilon}$로 잡습니다. $m > N$이면 ($n$이 무엇이든) $|a_{m,n}| = \frac{1}{m} < \frac{1}{N} < \varepsilon$입니다.

따라서 Pringsheim 의미로 $a_{m,n} \to 0$입니다.

(ii) $m$을 고정합니다. 짝수 $n = 2j$에서는 $a_{m,n} = \frac{1}{m}$이고, 홀수 $n = 2j+1$에서는 $a_{m,n} = -\frac{1}{m}$입니다.

극한 $b = \lim_{n\to\infty} a_{m,n}$이 존재한다고 가정합니다. $\varepsilon_0 = \frac{1}{2m} > 0$에 대해, 어떤 $N_0$가 존재해서 $n > N_0$이면 $|a_{m,n} - b| < \varepsilon_0$입니다.

$N_0$보다 큰 짝수 $n$을 고르면 $\left|\frac{1}{m} - b\right| < \frac{1}{2m}$이고, $N_0$보다 큰 홀수 $n$을 고르면 $\left|-\frac{1}{m} - b\right| < \frac{1}{2m}$입니다.

삼각부등식으로 $\frac{2}{m} = \left|\left(\frac{1}{m} - b\right) + \left(b + \frac{1}{m}\right)\right| \le \left|\frac{1}{m} - b\right| + \left|-\frac{1}{m} - b\right| < \frac{1}{2m} + \frac{1}{2m} = \frac{1}{m}$이 되어, $\frac{2}{m} < \frac{1}{m}$이라는 거짓 부등식을 얻습니다.

모순이므로 $\lim_{n\to\infty} a_{m,n}$은 존재하지 않습니다. 이는 모든 $m$에서 성립하므로 반복극한 $\lim_{m\to\infty}\lim_{n\to\infty} a_{m,n}$은 존재하지 않습니다.

(iii) $n$을 고정하면 $|a_{m,n}| = \frac{1}{m} \to 0$ ($m \to \infty$)이므로, 모든 $n$에 대해 $\lim_{m\to\infty} a_{m,n} = 0$입니다.

따라서 $\lim_{n\to\infty}\lim_{m\to\infty} a_{m,n} = \lim_{n\to\infty} 0 = 0$이며, 이는 (i)의 이중극한과 같습니다.

문제 2의 정리와 모순되지 않습니다: 그 정리는 안쪽 극한이 존재하는 순서에서만 결론을 내리는데, 이 예에서는 한 순서에서만 안쪽 극한이 존재합니다.