푸리에 정사각파 | Real Analysis

항을 더할수록 평평한 부분은 정사각파에 붙습니다. 하지만 점프 지점 옆의 울림은 줄지 않습니다. 항의 수를 아무리 늘려도 그 혹이 남아 있습니다.

예를 들면, 📷 사진 속 🏢 건물을 확대해 보는 것과 비슷해요. 픽셀이 작아질수록 모양은 선명해져요. 그래도 경계 옆 자글자글한 자국은 끝까지 남아요.

예제

정사각파의 사인 급수 계수 $b_{2k-1} = \frac{4}{\pi(2k-1)}$ 을 적분으로 직접 구하세요.

b_n = \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi} \sin(nx)\,dx = \frac{2(1-\cos n\pi)}{n\pi}

N = 5

: 처음 5개의 홀수 조화파가 계단을 흉내냅니다.

증명 보기

정사각파는 $(-\pi, \pi)$ 에서 홀함수이므로 코사인 계수는 0이고, $b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin(nx)\,dx = \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi}\sin(nx)\,dx$ 입니다.
적분하면 $\frac{2}{n\pi}(1 - \cos n\pi)$ 이고, $n$ 이 짝수면 $0$ , 홀수면 $\frac{4}{n\pi}$ 입니다.
즉 $b_{2k-1} = \frac{4}{\pi(2k-1)}$ , $b_{2k} = 0$ 입니다.

$N$ 이 클 때 점프 옆 최대값이 $\approx 1.179$ 로 수렴함을 수치로 확인하고, 울림이 점프의 약 9%임을 보이세요. (수치 확인)

\max S_N \to \frac{2\,\mathrm{Si}(\pi)}{\pi} \approx 1.17898

N = 50

: 최대값

\approx 1.179

— 1을

0.179

만큼 넘습니다.

증명 보기

$N = 50$ 에서 점프 바로 오른쪽의 최대값을 수치로 재면 $\approx 1.179$ 입니다 (이론값 $\frac{2\,\mathrm{Si}(\pi)}{\pi} \approx 1.17898$ ).
정사각파의 점프 크기는 $2$ 이므로, $1$ 위로의 초과분 $0.179$ 는 점프의 약 $8.95\%$ 입니다.
$N$ 을 키워도 이 비율은 0으로 가지 않습니다 — 이것이 깁스 현상입니다. (엄밀한 증명은 생략하고 수치로 확인합니다.)

$x = \pi/2$ 에서 $S_N$ 이 라이프니츠 급수가 됨을 대수적으로 보이세요.

S_N\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right) = \frac{4}{\pi}\sum_{k=1}^{N}\frac{(-1)^{k+1}}{2k-1} \to 1

x = \pi/2

에서 부분합은 라이프니츠 부분합의

\frac{4}{\pi}

배입니다.

증명 보기

$\sin\left((2k-1)\frac{\pi}{2}\right) = (-1)^{k+1}$ 이므로 $S_N(\pi/2) = \frac{4}{\pi}\sum_{k=1}^{N}\frac{(-1)^{k+1}}{2k-1}$ 입니다.
$N \to \infty$ 일 때 괄호 안은 라이프니츠 급수 $\frac{\pi}{4}$ 로 수렴합니다 — 근거 (급수 챕터에서 검증): 항 $\frac{1}{2k-1}$ 이 감소하며 $0$ 으로 가므로 라이프니츠(교대급수) 판정법이 수렴을 주고, 값 $\frac{\pi}{4}$ 는 $\arctan$ 급수를 $x = 1$ 에서 평가한 것입니다.
따라서 $S_N(\pi/2) \to \frac{4}{\pi}\cdot\frac{\pi}{4} = 1$ 로, 정사각파의 값과 일치합니다.